Questão 2.5
a) Defina subespaço vetorial.
Determine se os subconjuntos abaixo são subespaços do respectivo
S=\left\{(x, y, z, t) \in \mathbb{R}^{4} \mid\right\} \subset \mathbb{R}^{4}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (a) uma definição de subespaço vetorial; (b) determinar se certos subconjuntos de S=\{(x,y,z,t)\in\mathbb{R}^4\mid\}\subset\mathbb{R}^4 são subespaços. As informações relevantes do enunciado que eu tenho são: a indicação do espaço ambiente \mathbb{R}^4 e a notação geral S=\{(x,y,z,t)\in\mathbb{R}^4\mid\}. Contudo, o enunciado não forneceu as condições (as fórmulas, equações ou descrições) que definem os subconjuntos que devo verificar — ou seja, a parte depois do símbolo \mid está em branco. Portanto, os subconjuntos específicos a serem testados não foram dados.

Passo 2

Definição formal (resposta a (a)). Um subconjunto W de um espaço vetorial V (aqui V=\mathbb{R}^4) é um subespaço vetorial se e somente se as três propriedades seguintes forem verdadeiras:
  1. \mathbf{0}\in W, onde \mathbf{0}=(0,0,0,0) é o vetor nulo de \mathbb{R}^4.
  2. Para quaisquer u,v\in W, tem-se u+v\in W (fechamento por soma).
  3. Para qualquer escalar c\in\mathbb{R} e qualquer u\in W, tem-se c\,u\in W (fechamento por multiplicação escalar).
Explicação didática: a ideia é que um subespaço é um conjunto que, por si só, comporta-se como um espaço vetorial — tem o vetor zero, soma de vetores do conjunto fica no conjunto, e multiplicar um vetor do conjunto por qualquer número real também dá um vetor dentro do conjunto. Essas três propriedades são geralmente fáceis de checar na prova e cobrem tudo o que é necessário.

Passo 3

Forma equivalente e atalho prático. Uma condição equivalente e frequentemente mais prática é:
  • W é um subespaço de V se e somente se W\neq\varnothing e para quaisquer u,v\in W e quaisquer escalares a,b\in\mathbb{R} temos a u + b v \in W.
Justificação curta: tomar a=b=1 dá fechamento por soma; tomar v=\mathbf{0} e b=0 dá fechamento por escalares; a condição de não vazio garante que o vector zero possa ser obtido (ou você checa \mathbf{0}\in W diretamente). Na prática, verificar W\neq\varnothing e fechamento por combinações lineares é um atalho elegante.

Passo 4

Casos tipicamente encontrados em provas e como testar (guia passo a passo prático que dá para aplicar rápido no exame):
  • Se o subconjunto é dado por equações lineares homogêneas (todas do tipo \text{(combinação linear dos componentes)}=0çã), então o conjunto é o núcleo de uma aplicação linear e é sempre um subespaço. Raciocínio: conjunto solução de A x = 0 é fechado para soma e multiplicação escalar.
  • Se houver alguma equação não-homogênea (por exemplo \text{(combinação)} = cçã com c\neq 0), então normalmente não é subespaço, porque \mathbf{0} não satisfaz a equação e, portanto, \mathbf{0}\notin W.
  • Se o subconjunto for apresentado como \operatorname{span}\{v_1,\dots,v_k\} ou como \{a_1 v_1 + \cdots + a_k v_k \mid a_i\in\mathbb{R}\}, então é imediatamente um subespaço (é, por definição, o subespaço gerado pelos vetores).
  • Se for dada uma parametrização (por exemplo (x,y,z,t)=(s,t,s+t,0) com parâmetros s,t\in\mathbb{R}), reescreva em forma s v_1 + t v_2; se puder escrever como combinação linear livre dos parâmetros, então é subespaço (é um span).
Procedimento prático na prova (passos que você pode executar rápido):
  1. Substituir (0,0,0,0) e ver se satisfaz a condição (checagem rápida de \mathbf{0}\in W). Se não satisfizer, acabou: não é subespaço.
  2. Se \mathbf{0}\in W, testar fechamento: pegue vetores genéricos u e v que satisfazem as condições e calcule u+v e c u para escalar genérico c; verifique que continuam satisfazendo as mesmas condições (a verificação costuma simplificar por linearidade das equações dadas).
  3. Se o conjunto for solução de sistema linear homogêneo, conclua subito que é subespaço. Se for solução de sistema com termos constantes não nulos, conclua que não é subespaço.

Passo 5

Exemplo didático 1 (um caso que costuma aparecer): provar que
W=\{(x,y,z,t)\in\mathbb{R}^4\mid x+y+z+t=0\}
é subespaço.
  1. Verificar \mathbf{0}\in W: substituindo (0,0,0,0) obtemos 0+0+0+0=0, logo \mathbf{0}\in W.
  2. Fechamento por soma: sejam u=(x_1,y_1,z_1,t_1)\in W e v=(x_2,y_2,z_2,t_2)\in W. Então x_1+y_1+z_1+t_1=0 e x_2+y_2+z_2+t_2=0. Somando,
(x_1+x_2)+(y_1+y_2)+(z_1+z_2)+(t_1+t_2)=0+0=0,
portanto u+v\in W.
3. Fechamento por multiplicação escalar: para c\in\mathbb{R},
c x_1 + c y_1 + c z_1 + c t_1 = c(x_1+y_1+z_1+t_1)=c\cdot 0 = 0,
portanto c u \in W.
Conclusão: W satisfaz as três propriedades e, portanto, é subespaço. Observação alternativa: W é o núcleo da forma linear f(x,y,z,t)=x+y+z+t, logo é subespaço.

Passo 6

Exemplo didático 2 (contraexemplo típico): provar que
U=\{(x,y,z,t)\in\mathbb{R}^4\mid x+y+z+t=1\}
não é subespaço.
  1. Teste do vetor zero: substituindo \mathbf{0}=(0,0,0,0) obtemos 0+0+0+0=0\neq 1. Logo \mathbf{0}\notin U. Imediatamente U não pode ser subespaço.
  2. (Opcional) veja que a soma de dois vetores em U geralmente não satisfaz a equação: se u e v satisfazem x+y+z+t=1 cada, então para u+v a soma dos componentes será 2, não 1, então fechamento por soma falha.
Conclusão: U não é subespaço.

Passo 7

Exemplo didático 3 (parametrização e span): suponha
P=\{(x,y,z,t)\in\mathbb{R}^4 \mid (x,y,z,t)=(s, t, s+t, 0),\\ s,t\in\mathbb{R}\}.
Reescrevemos
(s,t,s+t,0)=s(1,0,1,0)+t(0,1,1,0).
Logo P=\operatorname{span}\{(1,0,1,0),(0,1,1,0)\}. Como é um span, P é subespaço. Método prático: tentar expressar generatriz por parâmetros como combinações lineares revela imediatamente se é span.

Passo 8

Resumo do que você deve fazer quando o enunciado trouxer os subconjuntos (passos pra fazer rápido na prova):
  1. Verificar se a descrição é homogênea (todas equações = 0) → se sim, é subespaço.
  2. Verificar se \mathbf{0} satisfaz as condições → se não, não é subespaço.
  3. Se precisar, verificar fechamento por soma e multiplicação escalar com elementos genéricos da descrição.
  4. Se for dado por parametrização, tentar escrever como span; se conseguir, é subespaço.

Passo 9

Impossibilidade de resolver a pergunta específica do enunciado fornecido: como os subconjuntos concretos a serem analisados não foram incluídos no enunciado recebido (a parte depois de \mid está vazia), não é possível decidir, para cada subconjunto concreto pedido no enunciado, se ele é ou não subespaço. Eu apresentei a definição, os critérios e exemplos que você pode aplicar imediatamente a qualquer subconjunto que o enunciado real da sua prova apresente.

Resposta

(a) Um subconjunto W\subset\mathbb{R}^4 é subespaço vetorial se e somente se \mathbf{0}\in W, e para quaisquer u,v\in W e qualquer escalar c\in\mathbb{R} vale u+v\in W e c\,u\in W.
(b) Não é possível determinar se os subconjuntos pedidos são subespaços porque as descrições (as condições depois do símbolo \mid em S=\{(x,y,z,t)\in\mathbb{R}^4\mid\}) não foram fornecidas.

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