Questão 2.5
a) Defina subespaço vetorial.
Determine se os subconjuntos abaixo são subespaços do respectivo
a) Defina subespaço vetorial.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (a) uma definição de subespaço vetorial; (b) determinar se certos subconjuntos de
são subespaços. As informações relevantes do enunciado que eu tenho são: a indicação do espaço ambiente
e a notação geral
. Contudo, o enunciado não forneceu as condições (as fórmulas, equações ou descrições) que definem os subconjuntos que devo verificar — ou seja, a parte depois do símbolo
está em branco. Portanto, os subconjuntos específicos a serem testados não foram dados.
Passo 2
Definição formal (resposta a (a)). Um subconjunto
de um espaço vetorial
(aqui
) é um subespaço vetorial se e somente se as três propriedades seguintes forem verdadeiras:
-
, onde é o vetor nulo de . - Para quaisquer
, tem-se (fechamento por soma). - Para qualquer escalar
e qualquer , tem-se (fechamento por multiplicação escalar).
Explicação didática: a ideia é que um subespaço é um conjunto que, por si só, comporta-se como um espaço vetorial — tem o vetor zero, soma de vetores do conjunto fica no conjunto, e multiplicar um vetor do conjunto por qualquer número real também dá um vetor dentro do conjunto. Essas três propriedades são geralmente fáceis de checar na prova e cobrem tudo o que é necessário.
Passo 3
Forma equivalente e atalho prático. Uma condição equivalente e frequentemente mais prática é:
-
é um subespaço de se e somente se e para quaisquer e quaisquer escalares temos .
Justificação curta: tomar
dá fechamento por soma; tomar
e
dá fechamento por escalares; a condição de não vazio garante que o vector zero possa ser obtido (ou você checa
diretamente). Na prática, verificar
e fechamento por combinações lineares é um atalho elegante.
Passo 4
Casos tipicamente encontrados em provas e como testar (guia passo a passo prático que dá para aplicar rápido no exame):
-
Se o subconjunto é dado por equações lineares homogêneas (todas do tipo
), então o conjunto é o núcleo de uma aplicação linear e é sempre um subespaço. Raciocínio: conjunto solução de é fechado para soma e multiplicação escalar. -
Se houver alguma equação não-homogênea (por exemplo
com ), então normalmente não é subespaço, porque não satisfaz a equação e, portanto, . -
Se o subconjunto for apresentado como
ou como , então é imediatamente um subespaço (é, por definição, o subespaço gerado pelos vetores). -
Se for dada uma parametrização (por exemplo
com parâmetros ), reescreva em forma ; se puder escrever como combinação linear livre dos parâmetros, então é subespaço (é um span).
Procedimento prático na prova (passos que você pode executar rápido):
- Substituir
e ver se satisfaz a condição (checagem rápida de ). Se não satisfizer, acabou: não é subespaço. - Se
, testar fechamento: pegue vetores genéricos e que satisfazem as condições e calcule e para escalar genérico ; verifique que continuam satisfazendo as mesmas condições (a verificação costuma simplificar por linearidade das equações dadas). - Se o conjunto for solução de sistema linear homogêneo, conclua subito que é subespaço. Se for solução de sistema com termos constantes não nulos, conclua que não é subespaço.
Passo 5
Exemplo didático 1 (um caso que costuma aparecer): provar que
é subespaço.
- Verificar
: substituindo obtemos , logo . - Fechamento por soma: sejam
e . Então e . Somando,
portanto
.
3. Fechamento por multiplicação escalar: para ,
3. Fechamento por multiplicação escalar: para
portanto
.
Conclusão: satisfaz as três propriedades e, portanto, é subespaço. Observação alternativa:
é o núcleo da forma linear
, logo é subespaço.
Conclusão:
Passo 6
Exemplo didático 2 (contraexemplo típico): provar que
não é subespaço.
- Teste do vetor zero: substituindo
obtemos . Logo . Imediatamente não pode ser subespaço. - (Opcional) veja que a soma de dois vetores em
geralmente não satisfaz a equação: se e satisfazem cada, então para a soma dos componentes será , não , então fechamento por soma falha.
Conclusão:
não é subespaço.
Passo 7
Exemplo didático 3 (parametrização e span): suponha
Reescrevemos
Logo
. Como é um span,
é subespaço. Método prático: tentar expressar generatriz por parâmetros como combinações lineares revela imediatamente se é span.
Passo 8
Resumo do que você deve fazer quando o enunciado trouxer os subconjuntos (passos pra fazer rápido na prova):
- Verificar se a descrição é homogênea (todas equações = 0) → se sim, é subespaço.
- Verificar se
satisfaz as condições → se não, não é subespaço. - Se precisar, verificar fechamento por soma e multiplicação escalar com elementos genéricos da descrição.
- Se for dado por parametrização, tentar escrever como span; se conseguir, é subespaço.
Passo 9
Impossibilidade de resolver a pergunta específica do enunciado fornecido: como os subconjuntos concretos a serem analisados não foram incluídos no enunciado recebido (a parte depois de
está vazia), não é possível decidir, para cada subconjunto concreto pedido no enunciado, se ele é ou não subespaço. Eu apresentei a definição, os critérios e exemplos que você pode aplicar imediatamente a qualquer subconjunto que o enunciado real da sua prova apresente.
Resposta
(a) Um subconjunto
é subespaço vetorial se e somente se
, e para quaisquer
e qualquer escalar
vale
e
.
(b) Não é possível determinar se os subconjuntos pedidos são subespaços porque as descrições (as condições depois do símbolo em
) não foram fornecidas.
(b) Não é possível determinar se os subconjuntos pedidos são subespaços porque as descrições (as condições depois do símbolo