Questão 2.6
a) Defina subespaço vetorial.
Determine se os subconjuntos abaixo são subespaços do respectivo
V=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} \mid\right\} \subset \mathbb{R}^{3}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (a) definir o que é um subespaço vetorial; e (b) determinar se certos subconjuntos de V=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3\}\subset\mathbb{R}^3 são subespaços.
Informação dada no enunciado: a ambientação é \mathbb{R}^3 e o subconjunto geral está em V.
Informação que falta (necessária para responder a parte (b)): o enunciado menciona “os subconjuntos abaixo”, mas você não enviou quais são esses subconjuntos. Sem saber quais subconjuntos são, não há como decidir se cada um é subespaço. Portanto, não é possível dar uma resposta específica para (b) com os dados que chegaram aqui.
A seguir eu vou: (i) dar a definição precisa de subespaço e explicar por que ela funciona; (ii) ensinar um método prático, passo a passo, para testar subconjuntos na prova; (iii) mostrar exemplos resolvidos (sem inventar os seus subconjuntos) para você praticar a técnica.

Passo 2

Definição (clara e direta). Um subconjunto W de um espaço vetorial V é um subespaço vetorial de V se e somente se W também é um espaço vetorial com as mesmas operações de adição e multiplicação escalar definidas em V. Em palavras mais simples: W deve ser fechado para as operações de vetor que já existem em V.
Formalmente, para W\subset V (onde V é um espaço vetorial sobre \mathbb{R}), W é subespaço se:
\text{(i) } \vec{0}\in W,\qquad \text{(ii) se } \vec{u},\vec{v}\in W \text{ então } \vec{u}+\vec{v}\in W,\qquad \text{(iii) se } \vec{u}\in W \text{ e } c\in\mathbb{R} \text{ então } c\vec{u}\in W.ãã
Essas três propriedades são necessárias e suficientes.

Passo 3

Por que essas três condições? Explicando passo a passo e de modo didático:
  • Presença do vetor zero \vec{0}: todo espaço vetorial tem o vetor zero. Se W não contém \vec{0}, não pode ser espaço vetorial. Em \mathbb{R}^3, \vec{0}=(0,0,0).
  • Fechamento para adição: a soma de dois vetores de W tem que permanecer em W. Se existir \vec{u},\vec{v}\in W tal que \vec{u}+\vec{v}\notin W, falta uma propriedade de espaço vetorial.
  • Fechamento para multiplicação escalar: multiplicar um vetor de W por qualquer escalar real deve dar outro vetor de W. Se algum escalar produzir um vetor fora de W, W não é subespaço.
Observação prática: muitas vezes basta verificar que \vec{0}\in W e que W é fechado sob combinações lineares simples (por exemplo, \alpha\vec{u}+\beta\vec{v}\in W para quaisquer \alpha,\beta\in\mathbb{R} e \vec{u},\vec{v}\in W); isso implica (ii) e (iii).

Passo 4

Checklist prático para a prova (use essa ordem; é rápido e confiável):
  1. Verifique se \vec{0}\in W. Se não, pare: não é subespaço. (Muitos conjuntos falham aqui.)
  2. Pegue dois elementos genéricos de W (escreva-os com as incógnitas necessárias) e mostre que a soma está em W. Faça a conta com as incógnitas e veja se a condição que define W ainda vale.
  3. Pegue um elemento genérico de W e um escalar c\in\mathbb{R} e mostre que o produto escalar pertence a W.
    Dica rápida: se W é definido por equações lineares homogêneas (todas do tipo a x+b y+c z = 0), então W é subespaço. Se houver uma equação não-homogênea (por exemplo a x+b y+c z = d com d\neq 0), então normalmente \vec{0} não satisfaz e W não é subespaço.

Passo 5

Exemplo 1 (modelo que aparece muito em provas). Seja
W_1=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid x+y+z=0\}.
Teste 1: \vec{0}=(0,0,0) satisfaz 0+0+0=0, logo \vec{0}\in W_1.
Teste 2 (soma): tome \vec{u}=(x_1,y_1,z_1) e \vec{v}=(x_2,y_2,z_2) em W_1. Então x_1+y_1+z_1=0 e x_2+y_2+z_2=0. A soma é \vec{u}+\vec{v}=(x_1+x_2,y_1+y_2,z_1+z_2). Verifique a equação:
(x_1+x_2)+(y_1+y_2)+(z_1+z_2)=(x_1+y_1+z_1)+(x_2+y_2+z_2)=0+0=0,
portanto \vec{u}+\vec{v}\in W_1.
Teste 3 (multiplicação escalar): para c\in\mathbb{R},
c\vec{u}=(cx_1,cy_1,cz_1),
e
cx_1+cy_1+cz_1=c(x_1+y_1+z_1)=c\cdot 0=0,
logo c\vec{u}\in W_1. Conclusão: W_1 é subespaço. Observe o padrão: equação linear homogênea → subespaço.

Passo 6

Exemplo 2 (contraexemplo típico). Seja
W_2=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid x+y+z=1\}.
Teste 1: \vec{0}=(0,0,0) não satisfaz 0+0+0=1. Logo \vec{0}\notin W_2. Conclusão imediata: W_2 não é subespaço. (Nem precisamos testar fechamentos.) Observação: equação linear não homogênea com termo constante diferente de zero costuma dar conjuntos que são “afins” (planos deslocados) e não subespaços.

Passo 7

Exemplo 3 (linha descrita parametrizada). Seja
W_3=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid x=2t,\; y=t,\; z=0\text{ para algum }t\in\mathbb{R}\}.
Podemos escrever W_3=\{t(2,1,0)\mid t\in\mathbb{R}\}=\operatorname{span}\{(2,1,0)\}. Qualquer conjunto que é o span (gerado linearmente) de vetores é um subespaço. Para conferir: \vec{0}=0\cdot(2,1,0)\in W_3; soma e multiplicação escalar preservam a forma t(2,1,0). Logo W_3 é subespaço. Este é o teste prático quando o conjunto aparece em forma paramétrica.

Passo 8

Resumo das estratégias rápidas que caem em prova:
  • Se a condição definidora é do tipo “combinações lineares” ou “sistema homogêneo” → provavelmente subespaço. Mostre fechamento para somas e escalares ou escreva como span de vetores.
  • Se a condição tem termos constantes (não-homogênea) que impedem \vec{0} de estar no conjunto → não é subespaço.
  • Sempre, sempre verifique primeiro se \vec{0}\in W: é o teste mais rápido para eliminar casos.

Resposta

Não é possível determinar: os subconjuntos a serem testados não foram fornecidos.

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