Questão 2.6
a) Defina subespaço vetorial.
Determine se os subconjuntos abaixo são subespaços do respectivo
a) Defina subespaço vetorial.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (a) definir o que é um subespaço vetorial; e (b) determinar se certos subconjuntos de
são subespaços.
Informação dada no enunciado: a ambientação é e o subconjunto geral está em
.
Informação que falta (necessária para responder a parte (b)): o enunciado menciona “os subconjuntos abaixo”, mas você não enviou quais são esses subconjuntos. Sem saber quais subconjuntos são, não há como decidir se cada um é subespaço. Portanto, não é possível dar uma resposta específica para (b) com os dados que chegaram aqui.
A seguir eu vou: (i) dar a definição precisa de subespaço e explicar por que ela funciona; (ii) ensinar um método prático, passo a passo, para testar subconjuntos na prova; (iii) mostrar exemplos resolvidos (sem inventar os seus subconjuntos) para você praticar a técnica.
Informação dada no enunciado: a ambientação é
Informação que falta (necessária para responder a parte (b)): o enunciado menciona “os subconjuntos abaixo”, mas você não enviou quais são esses subconjuntos. Sem saber quais subconjuntos são, não há como decidir se cada um é subespaço. Portanto, não é possível dar uma resposta específica para (b) com os dados que chegaram aqui.
A seguir eu vou: (i) dar a definição precisa de subespaço e explicar por que ela funciona; (ii) ensinar um método prático, passo a passo, para testar subconjuntos na prova; (iii) mostrar exemplos resolvidos (sem inventar os seus subconjuntos) para você praticar a técnica.
Passo 2
Definição (clara e direta). Um subconjunto
de um espaço vetorial
é um subespaço vetorial de
se e somente se
também é um espaço vetorial com as mesmas operações de adição e multiplicação escalar definidas em
. Em palavras mais simples:
deve ser fechado para as operações de vetor que já existem em
.
Formalmente, para (onde
é um espaço vetorial sobre
),
é subespaço se:
Formalmente, para
Essas três propriedades são necessárias e suficientes.
Passo 3
Por que essas três condições? Explicando passo a passo e de modo didático:
- Presença do vetor zero
: todo espaço vetorial tem o vetor zero. Se não contém , não pode ser espaço vetorial. Em , . - Fechamento para adição: a soma de dois vetores de
tem que permanecer em . Se existir tal que , falta uma propriedade de espaço vetorial. - Fechamento para multiplicação escalar: multiplicar um vetor de
por qualquer escalar real deve dar outro vetor de . Se algum escalar produzir um vetor fora de , não é subespaço.
Observação prática: muitas vezes basta verificar que
e que
é fechado sob combinações lineares simples (por exemplo,
para quaisquer
e
); isso implica (ii) e (iii).
Passo 4
Checklist prático para a prova (use essa ordem; é rápido e confiável):
- Verifique se
. Se não, pare: não é subespaço. (Muitos conjuntos falham aqui.) - Pegue dois elementos genéricos de
(escreva-os com as incógnitas necessárias) e mostre que a soma está em . Faça a conta com as incógnitas e veja se a condição que define ainda vale. - Pegue um elemento genérico de
e um escalar e mostre que o produto escalar pertence a .
Dica rápida: seé definido por equações lineares homogêneas (todas do tipo ), então é subespaço. Se houver uma equação não-homogênea (por exemplo com ), então normalmente não satisfaz e não é subespaço.
Passo 5
Exemplo 1 (modelo que aparece muito em provas). Seja
Teste 1:
satisfaz
, logo
.
Teste 2 (soma): tome e
em
. Então
e
. A soma é
. Verifique a equação:
Teste 2 (soma): tome
portanto
.
Teste 3 (multiplicação escalar): para ,
Teste 3 (multiplicação escalar): para
e
logo
. Conclusão:
é subespaço. Observe o padrão: equação linear homogênea → subespaço.
Passo 6
Exemplo 2 (contraexemplo típico). Seja
Teste 1:
não satisfaz
. Logo
. Conclusão imediata:
não é subespaço. (Nem precisamos testar fechamentos.) Observação: equação linear não homogênea com termo constante diferente de zero costuma dar conjuntos que são “afins” (planos deslocados) e não subespaços.
Passo 7
Exemplo 3 (linha descrita parametrizada). Seja
Podemos escrever
. Qualquer conjunto que é o span (gerado linearmente) de vetores é um subespaço. Para conferir:
; soma e multiplicação escalar preservam a forma
. Logo
é subespaço. Este é o teste prático quando o conjunto aparece em forma paramétrica.
Passo 8
Resumo das estratégias rápidas que caem em prova:
- Se a condição definidora é do tipo “combinações lineares” ou “sistema homogêneo” → provavelmente subespaço. Mostre fechamento para somas e escalares ou escreva como span de vetores.
- Se a condição tem termos constantes (não-homogênea) que impedem
de estar no conjunto → não é subespaço. - Sempre, sempre verifique primeiro se
: é o teste mais rápido para eliminar casos.
Resposta
Não é possível determinar: os subconjuntos a serem testados não foram fornecidos.