Questão [deriv1] (1,0 \mathrm{pt}) Derive f(z)=\left(z^{3}+i\right)^{2}
6 z^{2}\left(z^{3}+i\right)
\square 2\left(z^{3}+i\right) \square 2 z^{2}\left(z^{3}+i\right) \square z^{5}+i \square \left(z^{5}+i\right)^{2}

Passo 1

O enunciado pede para derivar a função \displaystyle f(z)=\left(z^{3}+i\right)^{2}.
Informações dadas: a função é explícita e é composta por uma potência de uma expressão polinomial complexa. A tarefa é encontrar f'(z), a derivada em relação a z.

Passo 2

Regra que vamos usar: a regra da cadeia para funções complexas (é a mesma ideia da regra da cadeia real). Se \displaystyle f(z)=h(g(z)), então
f'(z)=h'\big(g(z)\big)\cdot g'(z).
Aqui h é a função externa e g é a função interna. Vou identificar essas funções na nossa expressão.

Passo 3

Identificação das funções:
g(z)=z^{3}+i,\qquad h(w)=w^{2}\quad(\text{onde }w=g(z)).
Agora calculo as derivadas simples:
g'(z)=\frac{d}{dz}\big(z^{3}+i\big)=3z^{2},
h'(w)=\frac{d}{dw}\big(w^{2}\big)=2w.
Explicação curta: a derivada de z^{3} é 3z^{2} (regra do poder: \frac{d}{dz}z^{n}=n z^{n-1}) e i é constante então some zero; a derivada de w^{2} em relação a w é 2w.

Passo 4

Aplicando a regra da cadeia:
f'(z)=h'\big(g(z)\big)\cdot g'(z)=2\big(g(z)\big)\cdot 3z^{2}.
Substituindo g(z)=z^{3}+i,
f'(z)=2\big(z^{3}+i\big)\cdot 3z^{2}=6z^{2}\big(z^{3}+i\big).
Pronto — essa é a derivada simplificada.

Passo 5

Verificação alternativa (expansão): posso expandir primeiro e depois derivar para checar.
\big(z^{3}+i\big)^{2}=z^{6}+2i z^{3}+i^{2}=z^{6}+2i z^{3}-1.
Derivando termo a termo:
\frac{d}{dz}\big(z^{6}+2i z^{3}-1\big)=6z^{5}+6i z^{2}.
Factorizando 6z^{2}:
6z^{5}+6i z^{2}=6z^{2}\big(z^{3}+i\big),
que coincide com o resultado obtido pela regra da cadeia, confirmando que está correto.

Resposta

6 z^{2}\left(z^{3}+i\right)

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