Questão [exp2] (
) Calcule
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular o valor de
.
Informações dadas: o argumento é o número complexo .
O que queremos: o valor numérico (em forma fechada) de .
Informações dadas: o argumento é o número complexo
O que queremos: o valor numérico (em forma fechada) de
Passo 2
Lembrete importante (fórmula que vamos usar): por definição,
para qualquer número complexo
. Vou explicar por que isso é útil: exponenciais complexas se separam em parte real e imaginária via a fórmula
. Assim conseguimos expressar a parte real e a parte imaginária de
de forma clara.
Passo 3
Escrevo
na forma
. No nosso caso,
Agora aplico a identidade exponencial:
porque
. Substituindo em
obtemos a fórmula útil
Explicando essa fórmula: ao somar
e
as partes com
juntam-se em termos reais (formando
) e as partes com
juntam-se na parte imaginária (formando
).
Passo 4
Agora aplico a fórmula ao nosso
e
:
Usando propriedades trigonométricas:
e
. Além disso,
e
porque
é múltiplo inteiro de
(a função cosseno tem período
, seno também, e seno em múltiplos inteiros de
é zero). Portanto
Passo 5
Substituindo esses valores na expressão de
:
Ou seja, a parte imaginária some e resta apenas
.