Questão [exp2] ( 1,0 \mathrm{pt} ) Calcule \operatorname{cosh} (4-6 \pi i).
\square \operatorname{cosh} (4)
\square \operatorname{cosh} (1) \square \operatorname{cosh} (3) \square \operatorname{cosh} (2) \square \operatorname{cosh} (5)

Passo 1

O enunciado pede para calcular o valor de \operatorname{cosh}(4-6\pi i).
Informações dadas: o argumento é o número complexo 4-6\pi i.
O que queremos: o valor numérico (em forma fechada) de \operatorname{cosh}(4-6\pi i).

Passo 2

Lembrete importante (fórmula que vamos usar): por definição,
\operatorname{cosh}(z)=\frac{e^{z}+e^{-z}}{2},
para qualquer número complexo z. Vou explicar por que isso é útil: exponenciais complexas se separam em parte real e imaginária via a fórmula e^{x+iy}=e^{x}(\cos y + i\sin y). Assim conseguimos expressar a parte real e a parte imaginária de \operatorname{cosh} de forma clara.

Passo 3

Escrevo z na forma x+iy. No nosso caso,
z = 4-6\pi i \implies x=4,\quad y=-6\pi.
Agora aplico a identidade exponencial:
e^{x+iy}=e^{x}(\cos y + i\sin y), \quad e^{-x-iy}=e^{-x}(\cos y - i\sin y),
porque e^{-x-iy}=e^{-x}e^{-iy}=e^{-x}(\cos y - i\sin y). Substituindo em \operatorname{cosh}(z)=\tfrac{e^{z}+e^{-z}}{2} obtemos a fórmula útil
\operatorname{cosh}(x+iy)=\operatorname{cosh}(x)\cos(y)+i\,\operatorname{sinh}(x)\sin(y).
Explicando essa fórmula: ao somar e^{x+iy} e e^{-x-iy} as partes com \cos y juntam-se em termos reais (formando \operatorname{cosh} x\cos y) e as partes com \sin y juntam-se na parte imaginária (formando i\operatorname{sinh} x\sin y).

Passo 4

Agora aplico a fórmula ao nosso x e y:
\operatorname{cosh}(4-6\pi i)=\operatorname{cosh}(4)\cos(-6\pi)+i\,\operatorname{sinh}(4)\sin(-6\pi).
Usando propriedades trigonométricas: \cos(-\theta)=\cos(\theta) e \sin(-\theta)=-\sin(\theta). Além disso, \cos(6\pi)=1 e \sin(6\pi)=0 porque 6\pi é múltiplo inteiro de 2\pi (a função cosseno tem período 2\pi, seno também, e seno em múltiplos inteiros de \pi é zero). Portanto
\cos(-6\pi)=1,\qquad \sin(-6\pi)=0.

Passo 5

Substituindo esses valores na expressão de \operatorname{cosh}:
\operatorname{cosh}(4-6\pi i)=\operatorname{cosh}(4)\cdot 1 + i\,\operatorname{sinh}(4)\cdot 0 = \operatorname{cosh}(4).
Ou seja, a parte imaginária some e resta apenas \operatorname{cosh}(4).

Resposta

\operatorname{cosh}(4)

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