1. Questão desafio. Coeficientes de difusão de impurezas de \mathrm{Fe}^{2+} em monocristais dióxido de magnésio em diversas temperaturas são apresentados na tabela abaixo. Com base nos dados apresentados, indique estime a energia de ativação para a difusão do \mathrm{Fe}^{2+} no óxido de magnésio. Nota: k é igual a 86 \times 10^{-6} \mathrm{eV} / átomo.
\mathrm{T} /{ }^{\rho} \mathrm{C} \mathrm{D}^{*} / \mathrm{m}^{2} \mathrm{~s}^{-1}
1150 2.0 \times 10^{-14}
1200 3.2 \times 10^{-14}
1250 5.0 \times 10^{-14}
1300 7.5 \times 10^{-14}
1350 1.0 \times 10^{-13}
Table 1: Table 5.1 Tabulation of Error Function Values
\captionsetup{labelformat=empty}
z erf( z ) z erf( z ) z erf(z)
0 0 0.55 0.5633 1.3 0.9340
0.025 0.0282 0.60 0.6039 1.4 0.9523
0.05 0.0564 0.65 0.6420 1.5 0.9661
0.10 0.1125 0.70 0.6778 1.6 0.9763
0.15 0.1680 0.75 0.7112 1.7 0.9838
0.20 0.2227 0.80 0.7421 1.8 0.9891
0.25 0.2763 0.85 0.7707 1.9 0.9928
0.30 0.3286 0.90 0.7970 2.0 0.9953
0.35 0.3794 0.95 0.8209 2.2 0.9981
0.40 0.4284 1.0 0.8427 2.4 0.9993
0.45 0.4755 1.1 0.8802 2.6 0.9998
0.50 0.5205 1.2 0.9103 2.8 0.9999
\frac{C_{x}-C_{0}}{C_{s}-C_{0}}=1-\operatorname{erf}\left(\frac{x}{2 \sqrt{D t}}\right)

Passo 1

O enunciado pede que eu estime a energia de ativação para a difusão do \mathrm{Fe}^{2+} em óxido de magnésio, a partir dos coeficientes de difusão fornecidos em função da temperatura. Os dados foram retirados da tabela do enunciado e são:
  • Temperaturas (em ^\circ\mathrm{C}) e coeficientes de difusão (em \mathrm{m^2\,s^{-1}}):
    • \,T=1150^\circ\mathrm{C}, \,D^*=2{,}0\times10^{-14}
    • \,T=1200^\circ\mathrm{C}, \,D^*=3{,}2\times10^{-14}
    • \,T=1250^\circ\mathrm{C}, \,D^*=5{,}0\times10^{-14}
    • \,T=1300^\circ\mathrm{C}, \,D^*=7{,}5\times10^{-14}
    • \,T=1350^\circ\mathrm{C}, \,D^*=1{,}0\times10^{-13}
Também foi dada a constante de Boltzmann em unidades \mathrm{eV/átomo}á:
k = 86\times10^{-6}\\ \mathrm{eV/átomo}.á
O que se pede: estimar a energia de ativação Q (em \mathrm{eV/átomo}á) para a difusão, usando os dados acima.

Passo 2

Modelo físico e linearização (a ideia básica e como extrair Q).
A dependência típica de um coeficiente de difusão com a temperatura segue a lei de Arrhenius:
D = D_0 \exp\!\left(-\frac{Q}{k\,T}\right),
onde:
  • D é o coeficiente de difusão a temperatura T (em kelvin),
  • D_0 é o pré-exponencial (constante),
  • Q é a energia de ativação que queremos (em \mathrm{eV/átomo}á se k estiver em \mathrm{eV/K}),
  • k é a constante de Boltzmann (em \mathrm{eV/K}),
  • T é a temperatura absoluta (em K).
Tomando logaritmo natural em ambos os lados obtemos uma relação linear:
\ln D = \ln D_0 - \frac{Q}{k}\cdot\frac{1}{T}.
Isto é uma reta da forma \ln D = \ln D_0 + m\cdot(1/T) com inclinação
m = -\frac{Q}{k}.
Portanto, se obtivermos a inclinação m da reta \ln D versus 1/T, a energia de ativação é
Q = -m\,k.

Passo 3

Converter as temperaturas para kelvin (pegando os valores de T na tabela do enunciado):
T(\mathrm{K}) = T(^{\circ}\mathrm{C}) + 273{,}15.
Calculando:
\begin{aligned} T_1 &= 1150 + 273{,}15 = 1423{,}15\\ \mathrm{K},\\[4pt] T_2 &= 1200 + 273{,}15 = 1473{,}15\\ \mathrm{K},\\[4pt] T_3 &= 1250 + 273{,}15 = 1523{,}15\\ \mathrm{K},\\[4pt] T_4 &= 1300 + 273{,}15 = 1573{,}15\\ \mathrm{K},\\[4pt] T_5 &= 1350 + 273{,}15 = 1623{,}15\\ \mathrm{K}. \end{aligned}]

Passo 4

Calcular \dfrac{1}{T} para cada temperatura (valores numéricos aproximados, em \mathrm{K^{-1}}):
\begin{aligned} \frac{1}{T_1} &\approx 0{,}0007027\\ \mathrm{K^{-1}},\\[4pt] \frac{1}{T_2} &\approx 0{,}0006790\\ \mathrm{K^{-1}},\\[4pt] \frac{1}{T_3} &\approx 0{,}0006566\\ \mathrm{K^{-1}},\\[4pt] \frac{1}{T_4} &\approx 0{,}0006355\\ \mathrm{K^{-1}},\\[4pt] \frac{1}{T_5} &\approx 0{,}0006159\\ \mathrm{K^{-1}}. \end{aligned}]

Passo 5

Calcular \ln D para cada coeficiente D (usei os D da tabela). Para lembrar: \ln\big(a\times10^{b}\big)=\ln a + b\ln 10.
\begin{aligned} \ln(2{,}0\times10^{-14}) &= \ln 2{,}0 + (-14)\ln 10 = 0{,}693147 - 14\cdot2{,}302585 \approx -31{,}5430,\\[4pt] \ln(3{,}2\times10^{-14}) &= \ln 3{,}2 + (-14)\ln 10 = 1{,}16315 - 14\cdot2{,}302585 \approx -31{,}0730,\\[4pt] \ln(5{,}0\times10^{-14}) &= \ln 5{,}0 + (-14)\ln 10 = 1{,}609438 - 14\cdot2{,}302585 \approx -30{,}6268,\\[4pt] \ln(7{,}5\times10^{-14}) &= \ln 7{,}5 + (-14)\ln 10 = 2{,}014903 - 14\cdot2{,}302585 \approx -30{,}2213,\\[4pt] \ln(1{,}0\times10^{-13}) &= \ln 1{,}0 + (-13)\ln 10 = 0 - 13\cdot2{,}302585 \approx -29{,}9336. \end{aligned}
Assim tenho os pares \big(1/T_i,\\ \ln D_i\big) para traçar a reta.]

Passo 6

Estimativa da inclinação m. Para obter uma estimativa rápida e robusta da inclinação uso os dois pontos mais afastados (primeiro e último) para minimizar erro de ajuste local:
m \approx \frac{\ln D_5 - \ln D_1}{(1/T_5) - (1/T_1)}.
Substituindo os valores calculados:
\begin{aligned} \ln D_5 - \ln D_1 &\approx -29{,}9336 - (-31{,}5430) = 1{,}6094,\\[4pt] \frac{1}{T_5}-\frac{1}{T_1} &\approx 0{,}0006159 - 0{,}0007027 = -0{,}0000868. \end{aligned}
Logo
m \approx \frac{1{,}6094}{-0{,}0000868} \approx -1{,}856\times10^{4}.
(A inclinação é negativa, como esperado, porque \ln D cresce quando 1/T diminui.)]

Passo 7

Calcular Q a partir de m usando Q = -m\,k. Substituo m e k=86\times10^{-6}\\ \mathrm{eV/átomo}á:
Q \approx -\big(-1{,}856\times10^{4}\big)\cdot\big(86\times10^{-6}\big)\\ \mathrm{eV/átomo}.á
Fazendo a multiplicação:
Q \approx 1{,}856\times10^{4}\times86\times10^{-6}\\ \mathrm{eV/átomo} = 1{,}856\times86\times10^{-2}\\ \mathrm{eV/átomo} \approx 1{,}60\\ \mathrm{eV/átomo}.ááá

Resposta

Q \approx 1{,}60\\ \mathrm{eV/átomo}á

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