Num processo de endurecimento, a concentração de carbono a 1 mm da superfície do titânio é 0,25 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} e a 3 mm é 0,68 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}, em regime estacionário. O coeficiente de difusão é \mathrm{D}=1,5 \times 10^{-11} \mathrm{~m}^{2} / \mathrm{s} Use a primeira lei de Fick para estimar o fluxo de carbono.

Passo 1

Vou identificar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados fornecidos:
    • Concentração de carbono a 1\\ \mathrm{mm}: c_1 = 0,25\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^3.
    • Concentração de carbono a 3\\ \mathrm{mm}: c_2 = 0,68\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^3.
    • Coeficiente de difusão: D = 1,5\times10^{-11}\\ \mathrm{m}^2/\mathrm{s}.
    • As posições verticalmente são x_1 = 1\\ \mathrm{mm} e x_2 = 3\\ \mathrm{mm}.
  • O que o enunciado pede:
    • Estimar o fluxo de carbono usando a primeira lei de Fick (regime estacionário).
Observação prática: vou primeiro converter milímetros em metros para trabalhar com unidades SI: 1\\ \mathrm{mm}=0,001\\ \mathrm{m}.

Passo 2

Apresentar a lei que vamos usar e explicar cada termo.
A primeira lei de Fick (no regime estacionário) é
J = -D\,\frac{dc}{dx},
onde:
  • J é o fluxo de massa de carbono através da superfície, medido em \mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{s}^{-1};
  • D é o coeficiente de difusão, em \mathrm{m}^2/\mathrm{s};
  • c(x) é a concentração, em \mathrm{kg}/\mathrm{m}^3;
  • \dfrac{dc}{dx} é o gradiente espacial da concentração, em \mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-4}.
Explicação do sinal: o sinal negativo indica que o fluxo vai no sentido de diminuir a concentração (ou seja, do local de maior concentração para o de menor concentração). Em palavras: a matéria difunde no sentido de reduzir gradientes.

Passo 3

Como o problema diz “regime estacionário”, o perfil de concentração entre as posições pode ser aproximado como linear; assim podemos estimar o gradiente pela diferença entre os dois pontos.
Converter posições:
x_1 = 1\\ \mathrm{mm} = 0,001\\ \mathrm{m},\qquad x_2 = 3\\ \mathrm{mm} = 0,003\\ \mathrm{m}.
Calcular as diferenças:
\Delta c = c_2 - c_1 = 0,68 - 0,25 = 0,43\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^3,
\Delta x = x_2 - x_1 = 0,003 - 0,001 = 0,002\\ \mathrm{m}.
Logo o gradiente médio é
\frac{dc}{dx}\approx\frac{\Delta c}{\Delta x}=\frac{0,43}{0,002}=215\\ \mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-4}.
(Observação de unidade: \mathrm{kg}/\mathrm{m}^3 dividido por \mathrm{m} \mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-4}.)

Passo 4

Aplicar a lei de Fick com os valores numéricos.
Escrevendo:
J = -D\frac{dc}{dx} = -\left(1,5\times10^{-11}\right)\cdot 215.
Fazendo a multiplicação (mostrando o passo):
1,5\times10^{-11}\times215 = 1,5\times215\times10^{-11}=322,5\times10^{-11}=3,225\times10^{-9}.
Portanto o fluxo é um número negativo (fluxo no sentido de decrescer x, ou seja, do ponto de maior concentração para o menor).
Interpretação física: como c_2>c_1, o fluxo aponta do ponto em 3\\ \mathrm{mm} em direção a 1\\ \mathrm{mm} (fluxo em direção à superfície de menor x).

Resposta

-3,225\times10^{-9}\\ \mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{s}^{-1}

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