Questão 1 - Determine a área da superfície parametrizada por r(u, v)=(u, v, 10), cujo domínio no plano u v é o triângulo com vértices (0,0),(1,0) e^(0,1).

Passo 1

O enunciado pede a área da superfície parametrizada por
r(u,v)=(u,v,10)
sobre o domínio D que é o triângulo no plano uv com vértices (0,0), (1,0) e (0,1).
Conteúdo: área de superfície via produto vetorial de derivadas parciais.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de r(u,v):
vec ru = partialpartial u(u,v,10) = (1,0,0),
vec rv = partialpartial v(u,v,10) = (0,1,0)

Passo 3

O produto vetorial é
vec ru times vec rv = (1,0,0)times(0,1,0) = (0,0,1),
cuja magnitude é
|vec ru times vec rv| = 1

Passo 4

A área da superfície é
integral duplaD |vec ru times vec rv|,dA = 1 cdot integral duplaD dA = área(D) á
Como D é o triângulo de vértices (0,0), (1,0), (0,1), sua área é
integral duplaDdA =integralu=0^1integralv=0^1-udv,du =integral0^1(1-u),du =12

Resposta

A área da superfície é 12.

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