Questão 1: Determine, caso existam, os seguintes limites:
Passo 1
O enunciado pede o limite de
As perguntas implícitas que precisamos responder são:
- Qual é
(limite pela direita)?
- Existe(limite bilateral)?
Vamos calcular separadamente os limites laterais e comparar.]
Passo 2
Lembrete rápido e estratégia:
- Um limite lateral pela esquerda
usa a expressão válida para . - Um limite lateral pela direita
usa a expressão válida para . - Se os dois limites laterais forem iguais, esse será o limite bilateral; se forem diferentes, o limite bilateral NÃO existe.
Também usarei fatos básicos de limites: - Funções elementares contínuas (como
e ) satisfazem e . - Para uma expressão que dá
, podemos manipular algebraicamente (por exemplo racionalizando) para eliminar a indeterminação e então tomar o limite.
Passo 3
Cálculo de
. Para
temos
Faça a substituição
. Quando
temos
. A expressão fica
As funções
e
são contínuas em
, logo
Portanto podemos substituir diretamente:
Conclusão:
.
Passo 4
Cálculo de
. Para
temos
Ao tentar substituir
obtemos
, indeterminação. Vamos eliminar isso racionalizando o numerador: multiplica-se numerador e denominador pelo conjugado
:
No numerador
. Assim
válido para
. Agora tomamos limite quando
:
Conclusão:
.
Passo 5
Comparação dos limites laterais: obtivemos
Como os dois valores são diferentes, o limite bilateral
NÃO existe. (Observação extra: a definição dada para
não atribui um valor finito bem definido em
porque a expressão resulta em indeterminação; portanto
não está definido por essa fórmula.)