Questão 1: Determine, caso existam, os seguintes limites:
\lim _{x \rightarrow 3} f(x)\), onde \(f(x)= \begin{cases}\frac{1-\sin (x-3)}{\cos (x-3)}, & \text { se } \quad x<3 \\\ \frac{\sqrt{x+1}-2}{x-3}, & \text { se } \quad x \geq 3\end{cases}

Passo 1

O enunciado pede o limite de f(x)\) quando \(x\to3\), sendo \[f(x)= \begin{cases} \dfrac{1-\sin(x-3)}{\cos(x-3)}, & \text{se } x<3,\\[6pt] \dfrac{\sqrt{x+1}-2}{x-3}, & \text{se } x\ge 3. \end{cases}
As perguntas implícitas que precisamos responder são:
  • Qual é \lim_{x\to3^-} f(x)\] (limite pela esquerda)? - Qual é \(\lim_{x\to3^+} f(x) (limite pela direita)?
    - Existe \lim_{x\to3} f(x) (limite bilateral)?
    Vamos calcular separadamente os limites laterais e comparar.]

Passo 2

Lembrete rápido e estratégia:
  • Um limite lateral pela esquerda \lim_{x\to3^-} usa a expressão válida para x<3.
  • Um limite lateral pela direita \lim_{x\to3^+} usa a expressão válida para x\ge3.
  • Se os dois limites laterais forem iguais, esse será o limite bilateral; se forem diferentes, o limite bilateral NÃO existe.
    Também usarei fatos básicos de limites:
  • Funções elementares contínuas (como \sin e \cos) satisfazem \lim_{x\to a}\sin(x)=\sin(a) e \lim_{x\to a}\cos(x)=\cos(a).
  • Para uma expressão que dá \tfrac{0}{0}, podemos manipular algebraicamente (por exemplo racionalizando) para eliminar a indeterminação e então tomar o limite.

Passo 3

Cálculo de \lim_{x\to3^-} f(x). Para x<3 temos
f(x)=\frac{1-\sin(x-3)}{\cos(x-3)}.
Faça a substituição h=x-3. Quando x\to3^- temos h\to0^-. A expressão fica
\frac{1-\sin h}{\cos h}.
As funções \sin e \cos são contínuas em h=0, logo
\lim_{h\to0}\sin h=\sin 0=0,\qquad \lim_{h\to0}\cos h=\cos 0=1.
Portanto podemos substituir diretamente:
\lim_{x\to3^-} f(x)=\lim_{h\to0^-}\frac{1-\sin h}{\cos h}=\frac{1-0}{1}=1.
Conclusão: \lim_{x\to3^-} f(x)=1.

Passo 4

Cálculo de \lim_{x\to3^+} f(x). Para x\ge3 temos
f(x)=\frac{\sqrt{x+1}-2}{x-3}.
Ao tentar substituir x=3 obtemos \tfrac{0}{0}, indeterminação. Vamos eliminar isso racionalizando o numerador: multiplica-se numerador e denominador pelo conjugado \sqrt{x+1}+2:
\frac{\sqrt{x+1}-2}{x-3}\cdot\frac{\sqrt{x+1}+2}{\sqrt{x+1}+2} =\frac{(\sqrt{x+1})^2-2^2}{(x-3)(\sqrt{x+1}+2)}.
No numerador (\sqrt{x+1})^2-2^2=(x+1)-4=x-3. Assim
\frac{\sqrt{x+1}-2}{x-3}=\frac{x-3}{(x-3)(\sqrt{x+1}+2)}=\frac{1}{\sqrt{x+1}+2},
válido para x\neq3. Agora tomamos limite quando x\to3^+:
\lim_{x\to3^+} f(x)=\lim_{x\to3^+}\frac{1}{\sqrt{x+1}+2}=\frac{1}{\sqrt{4}+2}=\frac{1}{2+2}=\frac{1}{4}.
Conclusão: \lim_{x\to3^+} f(x)=\tfrac{1}{4}.

Passo 5

Comparação dos limites laterais: obtivemos
\lim_{x\to3^-} f(x)=1\qquad\text{e}\qquad \lim_{x\to3^+} f(x)=\tfrac{1}{4}.
Como os dois valores são diferentes, o limite bilateral \lim_{x\to3} f(x) NÃO existe. (Observação extra: a definição dada para x\ge3 não atribui um valor finito bem definido em x=3 porque a expressão resulta em indeterminação; portanto f(3) não está definido por essa fórmula.)

Resposta

\displaystyle \lim_{x\to3^-} f(x)=1
\displaystyle \lim_{x\to3^+} f(x)=\tfrac{1}{4}
\displaystyle \lim_{x\to3} f(x)\\ \text{não existe}ã

Exercícios relacionados