Questão 1: Determine, caso existam, os seguintes limites:
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite quando
tende a
da expressão racional
Informações dadas:
- A variável que se aproxima é
. - O ponto de interesse é
. - Temos um quociente de polinômios: numerador
e denominador .
O objetivo é encontrar o valor (se existir) desse limite.
Passo 2
Primeiro teste: tentar substituir
diretamente para ver se o limite é imediato. Calcular o numerador e denominador em
.
Como a substituição direta dá
, isso é uma forma indeterminada. Significa que não podemos concluir o valor do limite apenas por substituição — é preciso simplificar algebraicamente a expressão (método clássico para limites de racionais).
Passo 3
Explicar a técnica que vamos usar: quando um limite de quociente de polinômios dá
, geralmente existe um fator
comum (ou similar) que pode ser cancelado. Para isso vamos fatorar numerador e denominador. Começo pelo denominador, que é mais simples.
Fatorando o denominador:
Verificação rápida:
.
Passo 4
Agora fatorar o numerador. Uma técnica prática é agrupar termos:
Colocando fator comum em cada grupo:
Agora fator comum
:
Portanto o numerador fatora como
.
Passo 5
Substituindo as fatorações no quociente, obtemos, para
,
Justificativa do cancelamento: como o limite investiga o comportamento quando
se aproxima de
(mas não exige o valor da função em
), podemos simplificar a expressão para
. A nova função
é uma função racional contínua em
(o denominador em
é
), então podemos obter o limite substituindo
nessa expressão simplificada.
Passo 6
Avaliar a expressão simplificada em
: