Questão 1: Determine, caso existam, os seguintes limites:
\lim _{h \rightarrow 2} \frac{h^{3}-2 h^{2}+4 h-8}{h^{2}+h-6} \quad

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite quando h tende a 2 da expressão racional
\lim_{h\rightarrow 2} \frac{h^{3}-2 h^{2}+4 h-8}{h^{2}+h-6}.
Informações dadas:
  • A variável que se aproxima é h.
  • O ponto de interesse é h=2.
  • Temos um quociente de polinômios: numerador h^{3}-2 h^{2}+4 h-8 e denominador h^{2}+h-6.
    O objetivo é encontrar o valor (se existir) desse limite.

Passo 2

Primeiro teste: tentar substituir h=2 diretamente para ver se o limite é imediato. Calcular o numerador e denominador em h=2.
\text{Numerador em } h=2:\quad 2^{3}-2\cdot2^{2}+4\cdot2-8 = 8-8+8-8 = 0.
\text{Denominador em } h=2:\quad 2^{2}+2-6 = 4+2-6 = 0.
Como a substituição direta dá \dfrac{0}{0}, isso é uma forma indeterminada. Significa que não podemos concluir o valor do limite apenas por substituição — é preciso simplificar algebraicamente a expressão (método clássico para limites de racionais).

Passo 3

Explicar a técnica que vamos usar: quando um limite de quociente de polinômios dá 0/0, geralmente existe um fator (h-2) comum (ou similar) que pode ser cancelado. Para isso vamos fatorar numerador e denominador. Começo pelo denominador, que é mais simples.
Fatorando o denominador:
h^{2}+h-6 = (h-2)(h+3).
Verificação rápida: (h-2)(h+3)=h^{2}+3h-2h-6=h^{2}+h-6.

Passo 4

Agora fatorar o numerador. Uma técnica prática é agrupar termos:
h^{3}-2 h^{2}+4 h-8 = (h^{3}-2h^{2})+(4h-8).
Colocando fator comum em cada grupo:
(h^{3}-2h^{2})+(4h-8)=h^{2}(h-2)+4(h-2).
Agora fator comum (h-2):
h^{2}(h-2)+4(h-2)=(h-2)(h^{2}+4).
Portanto o numerador fatora como (h-2)(h^{2}+4).

Passo 5

Substituindo as fatorações no quociente, obtemos, para h\neq 2,
\frac{h^{3}-2 h^{2}+4 h-8}{h^{2}+h-6} = \frac{(h-2)(h^{2}+4)}{(h-2)(h+3)} = \frac{h^{2}+4}{h+3}.
Justificativa do cancelamento: como o limite investiga o comportamento quando h se aproxima de 2 (mas não exige o valor da função em 2), podemos simplificar a expressão para h\neq 2. A nova função \dfrac{h^{2}+4}{h+3} é uma função racional contínua em h=2 (o denominador em 2 é 5\neq0), então podemos obter o limite substituindo h=2 nessa expressão simplificada.

Passo 6

Avaliar a expressão simplificada em h=2:
\frac{h^{2}+4}{h+3}\Bigg|_{h=2}=\frac{2^{2}+4}{2+3}=\frac{4+4}{5}=\frac{8}{5}.

Resposta

\dfrac{8}{5}

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