Questão 9: Determine, caso existam, os seguintes limites:
Passo 1
O enunciado pede para calcular o limite
As informações do problema são exatamente a expressão dentro do limite:
A pergunta é: qual é o comportamento dessa expressão quando cresce sem limite positivo?
A pergunta é: qual é o comportamento dessa expressão quando
Passo 2
Uma técnica prática é fatorar a maior potência de
presente na expressão. Aqui a maior potência é
. Faço a fatoração:
Expliquei cada termo: multiplicando
por
volta
; por
volta
; por
volta
; por
volta
.
Passo 3
Agora estudo o comportamento do fator entre parênteses quando
. Para
vale que
quando
. Assim
Passo 4
Sabendo que
espera-se que o produto tenda a
. Para justificar de forma elementar: existe
tal que, para todo
,
porque o parêntese tende a
. Então, para esses
,
Como
quando
, segue que o produto também tende a
.
Passo 5
Intuitivamente e em provas rápidas: o comportamento de um polinômio para
é determinado pelo termo de maior grau. Aqui o termo dominante é
(coeficiente positivo), portanto a expressão cresce sem limite quando
.