Questão 9: Determine, caso existam, os seguintes limites:
\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(x^{3}-x^{2}-x+1\right)

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{x\to +\infty}\left(x^{3}-x^{2}-x+1\right).
As informações do problema são exatamente a expressão dentro do limite: \,x^{3}-x^{2}-x+1.
A pergunta é: qual é o comportamento dessa expressão quando x cresce sem limite positivo?

Passo 2

Uma técnica prática é fatorar a maior potência de x presente na expressão. Aqui a maior potência é \,x^{3}. Faço a fatoração:
x^{3}-x^{2}-x+1 = x^{3}\left(1-\frac{1}{x}-\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{x^{3}}\right).
Expliquei cada termo: multiplicando x^{3} por 1 volta x^{3}; por -\dfrac{1}{x} volta -x^{2}; por -\dfrac{1}{x^{2}} volta -x; por \dfrac{1}{x^{3}} volta 1.

Passo 3

Agora estudo o comportamento do fator entre parênteses quando x\to+\infty. Para k\ge 1 vale que \dfrac{1}{x^{k}}\to 0 quando x\to+\infty. Assim
\lim_{x\to+\infty}\left(1-\frac{1}{x}-\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{x^{3}}\right)=1-0-0+0=1.

Passo 4

Sabendo que
x^{3}\to +\infty\quad\text{e}\quad\left(1-\frac{1}{x}-\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{x^{3}}\right)\to 1,
espera-se que o produto tenda a +\infty. Para justificar de forma elementar: existe X>0 tal que, para todo x>X,
\left(1-\frac{1}{x}-\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{x^{3}}\right)>\tfrac{1}{2},
porque o parêntese tende a 1. Então, para esses x,
x^{3}\left(1-\frac{1}{x}-\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{x^{3}}\right)>\tfrac{1}{2}x^{3}.
Como \tfrac{1}{2}x^{3}\to+\infty quando x\to+\infty, segue que o produto também tende a +\infty.

Passo 5

Intuitivamente e em provas rápidas: o comportamento de um polinômio para x\to\pm\infty é determinado pelo termo de maior grau. Aqui o termo dominante é x^{3} (coeficiente positivo), portanto a expressão cresce sem limite quando x\to+\infty.

Resposta

+\infty

Exercícios relacionados