Questão 9: Determine, caso existam, os seguintes limites:
\lim _{y \rightarrow 5} \frac{\frac{1}{y}-\frac{1}{5}}{y-5}

Passo 1

O enunciado pede o limite
\lim_{y \rightarrow 5} \frac{\frac{1}{y}-\frac{1}{5}}{y-5}.
Informações dadas:
  • A variável é y.
  • O ponto de interesse é y \to 5.
  • A expressão é uma razão entre uma diferença de frações no numerador e a diferença y-5 no denominador.
    O objetivo é calcular o valor desse limite (se existir).

Passo 2

Primeiro vamos simplificar o numerador usando a regra para subtrair frações: para \dfrac{1}{y}-\dfrac{1}{5} o denominador comum é 5y. Então
\frac{1}{y}-\frac{1}{5}=\frac{5-y}{5y}.

Passo 3

Reescrevemos a expressão original substituindo o numerador simplificado. Temos uma divisão de frações, que é multiplicação pelo inverso:
\frac{\frac{1}{y}-\frac{1}{5}}{y-5} = \frac{\dfrac{5-y}{5y}}{y-5} = \frac{5-y}{5y}\cdot\frac{1}{y-5}.

Passo 4

Observe que 5-y=-(y-5). Substituindo isso na expressão e simplificando:
\frac{5-y}{5y}\cdot\frac{1}{y-5} = \frac{-(y-5)}{5y}\cdot\frac{1}{y-5} = -\frac{1}{5y},
válido para todo y\neq5 (já que no ponto y=5 a expressão original é uma forma indeterminada, mas o que importa para o limite são os valores para y próximos de 5, não exatamente em 5).

Passo 5

Agora que simplificamos a expressão para -\dfrac{1}{5y} para y perto de 5, podemos usar continuidade para avaliar o limite: a função y\mapsto -\dfrac{1}{5y} é contínua em y=5, logo
\lim_{y\to5}\left(-\frac{1}{5y}\right)=-\frac{1}{5\cdot 5}=-\frac{1}{25}.

Passo 6

Comentário didático adicional (útil para prova): essa expressão é exatamente o quociente diferencial (diferença /incremento) da função f(y)=\dfrac{1}{y} no ponto y=5. A definição do derivada diz que
f'(5)=\lim_{y\to5}\frac{f(y)-f(5)}{y-5},
e como f'(y)=-\dfrac{1}{y^{2}}, então f'(5)=-\dfrac{1}{25}. Ou seja, reconhecer esse padrão permite resolver limites desse tipo rapidamente.

Resposta

-\dfrac{1}{25}

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