Questão 9: Determine, caso existam, os seguintes limites:
Passo 1
O enunciado pede o limite
Informações dadas:
- A variável é
. - O ponto de interesse é
. - A expressão é uma razão entre uma diferença de frações no numerador e a diferença
no denominador.
O objetivo é calcular o valor desse limite (se existir).
Passo 2
Primeiro vamos simplificar o numerador usando a regra para subtrair frações: para
o denominador comum é
. Então
Passo 3
Reescrevemos a expressão original substituindo o numerador simplificado. Temos uma divisão de frações, que é multiplicação pelo inverso:
Passo 4
Observe que
. Substituindo isso na expressão e simplificando:
válido para todo
(já que no ponto
a expressão original é uma forma indeterminada, mas o que importa para o limite são os valores para
próximos de
, não exatamente em
).
Passo 5
Agora que simplificamos a expressão para
para
perto de
, podemos usar continuidade para avaliar o limite: a função
é contínua em
, logo
Passo 6
Comentário didático adicional (útil para prova): essa expressão é exatamente o quociente diferencial (diferença
incremento) da função
no ponto
. A definição do derivada diz que
e como
, então
. Ou seja, reconhecer esse padrão permite resolver limites desse tipo rapidamente.