Questão 9: Determine, caso existam, os seguintes limites:
\lim _{x \rightarrow-2} \frac{2-x}{\sqrt{x+2}}

Passo 1

Vou deixar claro o que o enunciado pede e quais informações temos. O enunciado pede o valor do limite
\lim_{x\to-2}\frac{2-x}{\sqrt{x+2}}.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • A expressão tem uma raiz quadrada no denominador, portanto está definida apenas quando x+2\ge 0, ou seja, para x\ge -2.
  • Como a função não está definida para x<-2, devemos prestar atenção aos limites laterais (direito e esquerdo) ao estudar o comportamento quando x se aproxima de -2.

Passo 2

Conceito rápido e prático para este caso. Quando o domínio da função impede que x se aproxime de -2 por ambos os lados, o limite bilateral \lim_{x\to-2} só existe se as duas limitações laterais existirem e forem iguais:
\lim_{x\to-2}\text{( )} \text{ existe } \Longleftrightarrow \lim_{x\to-2^-}\text{( )} \text{ existe, } \lim_{x\to-2^+}\text{( )} \text{ existe, e são iguais.}ã
Aqui, a função não está definida para x<-2, então o limite pela esquerda \lim_{x\to-2^-} não pode ser calculado (a expressão não é real para x<-2). Portanto já sabemos que o limite bilateral não pode existir como um número real — resta analisar o limite pela direita \lim_{x\to-2^+} e ver se há um comportamento infinito.

Passo 3

Fazer uma mudança de variável para enxergar melhor o comportamento quando x se aproxima de -2. Seja
h = x+2.
Então x = -2 + h e quando x\to-2^+ temos h\to 0^+ (note que só faz sentido h\ge 0 aqui). Reescrevendo a expressão em função de h:
\frac{2-x}{\sqrt{x+2}} = \frac{2-(-2+h)}{\sqrt{h}} = \frac{4-h}{\sqrt{h}}.

Passo 4

Separar termos para ver qual domina quando h é pequeno e positivo. Temos
\frac{4-h}{\sqrt{h}} = \frac{4}{\sqrt{h}} - \frac{h}{\sqrt{h}} = \frac{4}{\sqrt{h}} - \sqrt{h}.
Agora analisar o limite quando h\to 0^+:
  • \sqrt{h}\to 0^+.
  • \dfrac{4}{\sqrt{h}} diverge para +\infty quando h\to 0^+ (denominador vai para zero por valores positivos, então a fração cresce sem limite).
    Logo a diferença \dfrac{4}{\sqrt{h}}-\sqrt{h} também diverge para +\infty, porque o primeiro termo cresce sem limite e o segundo tende a zero. Em termos informais: o termo dominante é \dfrac{4}{\sqrt{h}}, que manda a expressão para +\infty.

Passo 5

Concluir sobre os limites pedidos:
  • Pela análise, o limite pela direita existe no sentido estendido e vale +\infty:
\lim_{x\to-2^+}\frac{2-x}{\sqrt{x+2}} = +\infty.
  • O limite pela esquerda não existe como limite real porque a função não está definida para x<-2; portanto \lim_{x\to-2^-} não existe (não há valores reais da função para x<-2).
  • Como as duas laterais não existem ou não coincidem como número real, o limite bilateral \lim_{x\to-2} não existe como número real. Se aceitarmos limites no sentido estendido (valores infinitos) também não temos um limite bilateral finito.

Resposta

\lim_{x\to-2^-}\dfrac{2-x}{\sqrt{x+2}} não existe (função não definida para x<-2).
\lim_{x\to-2^+}\dfrac{2-x}{\sqrt{x+2}}=+\infty.
\lim_{x\to-2}\dfrac{2-x}{\sqrt{x+2}} não existe (não há limite bilateral finito).

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