Questão 9: Determine, caso existam, os seguintes limites:
Passo 1
Vou deixar claro o que o enunciado pede e quais informações temos. O enunciado pede o valor do limite
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- A expressão tem uma raiz quadrada no denominador, portanto está definida apenas quando
, ou seja, para . - Como a função não está definida para
, devemos prestar atenção aos limites laterais (direito e esquerdo) ao estudar o comportamento quando se aproxima de .
Passo 2
Conceito rápido e prático para este caso. Quando o domínio da função impede que
se aproxime de
por ambos os lados, o limite bilateral
só existe se as duas limitações laterais existirem e forem iguais:
Aqui, a função não está definida para
, então o limite pela esquerda
não pode ser calculado (a expressão não é real para
). Portanto já sabemos que o limite bilateral não pode existir como um número real — resta analisar o limite pela direita
e ver se há um comportamento infinito.
Passo 3
Fazer uma mudança de variável para enxergar melhor o comportamento quando
se aproxima de
. Seja
Então
e quando
temos
(note que só faz sentido
aqui). Reescrevendo a expressão em função de
:
Passo 4
Separar termos para ver qual domina quando
é pequeno e positivo. Temos
Agora analisar o limite quando
:
-
. -
diverge para quando (denominador vai para zero por valores positivos, então a fração cresce sem limite).
Logo a diferençatambém diverge para , porque o primeiro termo cresce sem limite e o segundo tende a zero. Em termos informais: o termo dominante é , que manda a expressão para .
Passo 5
Concluir sobre os limites pedidos:
- Pela análise, o limite pela direita existe no sentido estendido e vale
:
- O limite pela esquerda não existe como limite real porque a função não está definida para
; portanto não existe (não há valores reais da função para ). - Como as duas laterais não existem ou não coincidem como número real, o limite bilateral
não existe como número real. Se aceitarmos limites no sentido estendido (valores infinitos) também não temos um limite bilateral finito.