Questão 1. Determine a convergência ou a divergência das seguintes sequências:
g) a_{n}=\frac{\log n}{\log 3 n}

Passo 1

O enunciado dá a sequência
a_{n}=\frac{\log n}{\log 3 n}
e pede para determinar se essa sequência converge ou diverge (ou seja, encontrar o limite quando n\to\infty, se existir). As informações relevantes são:
  • a_n é dada pela razão entre \log n e \log 3n.
  • \log 3 é uma constante (dependendo da base do logaritmo, mas é constante).
  • Queremos o comportamento de a_n quando n cresce sem limite.

Passo 2

Relembrando um conceito importante (didático e útil na prova): uma sequência (a_n) converge para um número L se os termos a_n se aproximam arbitrariamente de L quando n fica muito grande. Na prática, para calcular limites de sequências racionais em funções elementares a técnica é manipular algebricamente para evidenciar um termo que tende a zero ou a infinito e então usar propriedades básicas de limite.

Passo 3

Use uma identidade simples dos logaritmos para simplificar a expressão. Para todo n>0 vale
\log(3n)=\log n + \log 3.
Substituindo na definição de a_n obtemos
a_n=\frac{\log n}{\log n + \log 3}.

Passo 4

Divida numerador e denominador por \log n (válido para n>1, quando \log n\neq0) para ver a forma que facilita o limite:
a_n=\frac{1}{1 + \dfrac{\log 3}{\log n}}.
Agora observe o comportamento de \dfrac{\log 3}{\log n} quando n\to\infty. Aqui \log 3 é constante e \log n\to\infty quando n\to\infty (explicação rápida: dado M>0, escolha n>e^{M} se os logs forem naturais, ou em geral n>b^{M} para base b>1; assim \log n>M, logo não há limite superior — o log cresce sem limite). Portanto
\frac{\log 3}{\log n}\longrightarrow 0\quad\text{quando }n\to\infty.

Passo 5

Aplicando a propriedade limite em \displaystyle a_n=\frac{1}{1 + \dfrac{\log 3}{\log n}}, como \dfrac{\log 3}{\log n}\to 0 temos
\lim_{n\to\infty} a_n = \frac{1}{1+0}=1.
Isto mostra que a sequência converge e o seu limite é 1.

Passo 6

Para ficar mais confiante, um teste numérico rápido (apenas para intuição): usando logaritmo natural como exemplo,
\log 10 \approx 2,3026,\quad \log 3\approx 1,0986
a_{10}\approx\frac{2,3026}{2,3026+1,0986}\approx0,677
\log 100\approx4,6052\Rightarrow a_{100}\approx\frac{4,6052}{4,6052+1,0986}\approx0,807
\log 1000\approx6,9078\Rightarrow a_{1000}\approx\frac{6,9078}{6,9078+1,0986}\approx0,863
os valores aumentam em direção a 1, consistente com a conclusão acima.

Resposta

\displaystyle \lim_{n\to\infty} a_{n}=1

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