Questão 1. Determine a convergência ou a divergência das seguintes sequências:
g)
g)
Passo 1
O enunciado dá a sequência
e pede para determinar se essa sequência converge ou diverge (ou seja, encontrar o limite quando
, se existir). As informações relevantes são:
-
é dada pela razão entre e . -
é uma constante (dependendo da base do logaritmo, mas é constante). - Queremos o comportamento de
quando cresce sem limite.
Passo 2
Relembrando um conceito importante (didático e útil na prova): uma sequência
converge para um número
se os termos
se aproximam arbitrariamente de
quando
fica muito grande. Na prática, para calcular limites de sequências racionais em funções elementares a técnica é manipular algebricamente para evidenciar um termo que tende a zero ou a infinito e então usar propriedades básicas de limite.
Passo 3
Use uma identidade simples dos logaritmos para simplificar a expressão. Para todo
vale
Substituindo na definição de
obtemos
Passo 4
Divida numerador e denominador por
(válido para
, quando
) para ver a forma que facilita o limite:
Agora observe o comportamento de
quando
. Aqui
é constante e
quando
(explicação rápida: dado
, escolha
se os logs forem naturais, ou em geral
para base
; assim
, logo não há limite superior — o log cresce sem limite). Portanto
Passo 5
Aplicando a propriedade limite em
, como
temos
Isto mostra que a sequência converge e o seu limite é
.
Passo 6
Para ficar mais confiante, um teste numérico rápido (apenas para intuição): usando logaritmo natural como exemplo,
os valores aumentam em direção a
, consistente com a conclusão acima.