Questão 1. Determine a convergência ou a divergência das seguintes sequências:
f)
f)
Passo 1
O enunciado pede que se determine se a sequência
converge ou diverge. A informação dada é exatamente a expressão de
para cada
.
Passo 2
Vamos manipular a potência do exponencial para deixar claro o comportamento quando
. Reescrevendo a fração no expoente:
Isto apenas fatorou
e isolou o quociente
.
Passo 3
Calcule o limite do quociente
. Note que
Como
quando
(porque para
grande o inverso tende a zero), segue que
Passo 4
Usando o resultado do passo anterior, o expoente tende a
Passo 5
Agora aplicamos uma propriedade importante: a função exponencial
é contínua em todo
. Uma consequência prática disso é a seguinte regra de limites: se
então
. Assim, podemos levar o limite para dentro do exponencial.
Passo 6
Pelo que foi dito,
Portanto a sequência converge, e seu limite é
. (Como referência numérica,
.)
Passo 7
Dica rápida para a prova: quando aparecer uma sequência do tipo
, primeiro calcule
. Se esse limite existir e for finito, use a continuidade da exponencial para concluir o limite da sequência. Além disso, para limites de razões polinomiais em
, divida por
ou escreva em termos de
como fizemos aqui — isso normalmente simplifica muito.
Resposta
Converge para