Questão 1. Determine a convergência ou a divergência das seguintes sequências:
f) a_{n}=e^{\frac{2 n^{2}}{(n+1)^{2}}}

Passo 1

O enunciado pede que se determine se a sequência
a_{n}=e^{\frac{2 n^{2}}{(n+1)^{2}}}
converge ou diverge. A informação dada é exatamente a expressão de a_{n} para cada n.

Passo 2

Vamos manipular a potência do exponencial para deixar claro o comportamento quando n\to\infty. Reescrevendo a fração no expoente:
\frac{2n^{2}}{(n+1)^{2}} = 2\left(\frac{n}{\,n+1\,}\right)^{2}.
Isto apenas fatorou 2 e isolou o quociente \dfrac{n}{n+1}.

Passo 3

Calcule o limite do quociente \dfrac{n}{n+1}. Note que
\frac{n}{n+1}=\frac{1}{1+\dfrac{1}{n}}.
Como \dfrac{1}{n}\to 0 quando n\to\infty (porque para n grande o inverso tende a zero), segue que
\frac{n}{n+1}\to\frac{1}{1+0}=1.

Passo 4

Usando o resultado do passo anterior, o expoente tende a
2\left(\frac{n}{n+1}\right)^{2}\longrightarrow 2\cdot 1^{2}=2 \qquad\text{quando }n\to\infty.

Passo 5

Agora aplicamos uma propriedade importante: a função exponencial x\mapsto e^{x} é contínua em todo \mathbb{R}. Uma consequência prática disso é a seguinte regra de limites: se x_{n}\to L então e^{x_{n}}\to e^{L}. Assim, podemos levar o limite para dentro do exponencial.

Passo 6

Pelo que foi dito,
\lim_{n\to\infty} a_{n}=\lim_{n\to\infty} e^{\frac{2n^{2}}{(n+1)^{2}}} = e^{\lim_{n\to\infty}\frac{2n^{2}}{(n+1)^{2}}} = e^{2}.
Portanto a sequência converge, e seu limite é e^{2}. (Como referência numérica, e^{2}\approx 7,389.)

Passo 7

Dica rápida para a prova: quando aparecer uma sequência do tipo e^{b_{n}}, primeiro calcule \lim b_{n}. Se esse limite existir e for finito, use a continuidade da exponencial para concluir o limite da sequência. Além disso, para limites de razões polinomiais em n, divida por n^{\text{grau máximo}}á ou escreva em termos de 1+1/n como fizemos aqui — isso normalmente simplifica muito.

Resposta

Converge para e^{2}

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