Questão 1. Determine a convergência ou a divergência das seguintes sequências:
j) * a_{n}=n \sin \left(\frac{1}{n}\right)

Passo 1

O enunciado dá a sequência a_{n}=n \sin\!\left(\frac{1}{n}\right) e pede para determinar se ela converge ou diverge (e, se convergir, para qual valor). Informação implícita que usaremos: n é um inteiro positivo e vamos estudar o comportamento quando n\to\infty.

Passo 2

Idéia-chave que vamos usar: o limite conhecido
\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1.
Vou explicar por que esse limite vale (uma prova simples por desigualdades). Para 0<x<\tfrac{\pi}{2} vale a desigualdade geométrica clássica
\sin x < x < \tan x.
Dividindo a desigualdade pela positiva x e lembrando que \tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x} obtemos
\cos x < \frac{\sin x}{x} < 1.
Agora, tomando o limite quando x\to 0^{+}, como \lim_{x\to 0}\cos x = 1, pela regra do aperto (squeeze theorem) segue
\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1.
Essa é a ferramenta principal para resolver nossa sequência.

Passo 3

Fazer a substituição natural x=\dfrac{1}{n}. Quando n\to\infty temos x\to 0^{+}. Aplicando o limite acima a x=\dfrac{1}{n}
\lim_{n\to\infty}\frac{\sin\!\left(\dfrac{1}{n}\right)}{\dfrac{1}{n}}=1.
Reescrevendo, isso significa
\lim_{n\to\infty} n\,\sin\!\left(\frac{1}{n}\right)=1.
Vou detalhar por que a operação de substituir x=1/n é válida: a propriedade que usamos é a continuidade da igualdade do limite — se \lim_{x\to0}\dfrac{\sin x}{x}=1 então ao escolher uma sequência x_n\to0 (aqui x_n=1/n) vale \lim_{n\to\infty}\dfrac{\sin x_n}{x_n}=1. Como \dfrac{\sin(1/n)}{1/n}=n\sin(1/n), obtemos diretamente o resultado do passo anterior.

Passo 4

Intuição adicional (opcional, mas útil para a prova): pela série de Taylor de \sin x em 0 temos
\sin x = x - \frac{x^{3}}{6} + o(x^{3}) \quad (x\to 0).
Tomando x=\dfrac{1}{n},
\sin\!\left(\frac{1}{n}\right)=\frac{1}{n}-\frac{1}{6n^{3}}+o\!\left(\frac{1}{n^{3}}\right),
multiplicando por n
n\sin\!\left(\frac{1}{n}\right)=1-\frac{1}{6n^{2}}+o\!\left(\frac{1}{n^{2}}\right)\to 1.
Essa expansão confirma e dá a taxa de convergência (vai para 1 com erro da ordem de 1/n^{2}).

Passo 5

Conclusão: a sequência é convergente e seu limite quando n\to\infty é 1. Mantenha na cabeça a regra prática para provas rápidas: usar \lim_{x\to0}\sin x / x =1 com x=1/n resolve muito casos desse tipo.

Resposta

A sequência converge e \displaystyle \lim_{n\to\infty} n\sin\!\left(\frac{1}{n}\right)=1

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