Questão 1. Determine a convergência ou a divergência das seguintes sequências:
j) *
j) *
Passo 1
O enunciado dá a sequência
e pede para determinar se ela converge ou diverge (e, se convergir, para qual valor). Informação implícita que usaremos:
é um inteiro positivo e vamos estudar o comportamento quando
.
Passo 2
Idéia-chave que vamos usar: o limite conhecido
Vou explicar por que esse limite vale (uma prova simples por desigualdades). Para
vale a desigualdade geométrica clássica
Dividindo a desigualdade pela positiva
e lembrando que
obtemos
Agora, tomando o limite quando
, como
, pela regra do aperto (squeeze theorem) segue
Essa é a ferramenta principal para resolver nossa sequência.
Passo 3
Fazer a substituição natural
. Quando
temos
. Aplicando o limite acima a
dá
Reescrevendo, isso significa
Vou detalhar por que a operação de substituir
é válida: a propriedade que usamos é a continuidade da igualdade do limite — se
então ao escolher uma sequência
(aqui
) vale
. Como
, obtemos diretamente o resultado do passo anterior.
Passo 4
Intuição adicional (opcional, mas útil para a prova): pela série de Taylor de
em
temos
Tomando
,
multiplicando por
dá
Essa expansão confirma e dá a taxa de convergência (vai para 1 com erro da ordem de
).
Passo 5
Conclusão: a sequência é convergente e seu limite quando
é
. Mantenha na cabeça a regra prática para provas rápidas: usar
com
resolve muito casos desse tipo.
Resposta
A sequência converge e