Questão 1. Determine a convergência ou a divergência das seguintes sequências:
a_{n}=\left(1+\frac{2}{n}\right)^{n}

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a sequência converte ou diverge. A sequência dada é:
a_{n}=\left(1+\frac{2}{n}\right)^{n}.
Informações relevantes fornecidas:
  • A sequência está definida para n\in\mathbb{N} grande (onde n tende a +\infty).
  • A tarefa é decidir se \{a_n\} tem limite finito quando n\to\infty e, em caso afirmativo, encontrar esse limite.

Passo 2

Estratégia escolhida (explicação didática): é muito comum, para sequências da forma \left(1+\dfrac{\text{const}}{n}\right)^{n}, transformar o problema tomando o logaritmo natural. Isso porque o expoente n fica multiplicando um logaritmo e isso transforma uma expressão exponencial numa expressão de forma n\cdot(\text{algo que tende a }0), que é mais fácil de analisar. Depois, se encontrarmos o limite do logaritmo, podemos recuperar o limite original exponenciando.
Então vamos estudar
\ln(a_n)=\ln\!\left(\left(1+\frac{2}{n}\right)^{n}\right).
Usando a propriedade \ln(b^n)=n\ln b, obtemos
\ln(a_n)=n\ln\!\left(1+\frac{2}{n}\right).

Passo 3

Mudança de variável para passar a um limite mais padrão: defina u=\dfrac{1}{n}. Quando n\to\infty temos u\to 0^{+}. Reescrevendo,
\ln(a_n)=\frac{\ln(1+2u)}{u},
e o problema reduz-se a calcular
\lim_{u\to 0^{+}}\frac{\ln(1+2u)}{u}.

Passo 4

Cálculo do limite usando uma propriedade básica de limites (ou L’Hôpital): é uma propriedade fundamental do logaritmo que
\lim_{x\to 0}\frac{\ln(1+x)}{x}=1.
Aplicando isso com x=2u obtemos
\lim_{u\to 0}\frac{\ln(1+2u)}{2u}=1.
Multiplicando ambos os lados por 2
\lim_{u\to 0}\frac{\ln(1+2u)}{u}=2.
(Comentário curto sobre porque essa propriedade vale: a função \ln(1+x) é diferenciável em x=0 e sua derivada ali é 1; portanto o quociente \dfrac{\ln(1+x)}{x} tende a essa derivada quando x\to0. Alternativamente pode-se usar L’Hôpital: \lim_{u\to0}\dfrac{\ln(1+2u)}{u}=\lim_{u\to0}\dfrac{2/(1+2u)}{1}=2.)

Passo 5

Concluímos, a partir do passo anterior, que
\lim_{n\to\infty}\ln(a_n)=2.
Como a função exponencial é contínua, podemos aplicar a exponenciação no limite:
\lim_{n\to\infty}a_n=\lim_{n\to\infty} e^{\ln(a_n)} = e^{\,\lim_{n\to\infty}\ln(a_n)} = e^{2}.

Passo 6

Interpretação final e incentivo: a sequência converge e seu limite é e^{2}. Isso é um caso particular da regra geral
\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{x}{n}\right)^{n}=e^{x},
que costuma cair bastante em provas. Se ficar com medo, decore a técnica: tomar logaritmo, trocar em função de u=1/n, usar \ln(1+x)\sim x quando x\to0, e depois exp().

Resposta

\displaystyle e^{2}

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