Questão 1. Determine a convergência ou a divergência das seguintes sequências:
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a sequência converte ou diverge. A sequência dada é:
Informações relevantes fornecidas:
- A sequência está definida para
grande (onde tende a ). - A tarefa é decidir se
tem limite finito quando e, em caso afirmativo, encontrar esse limite.
Passo 2
Estratégia escolhida (explicação didática): é muito comum, para sequências da forma
, transformar o problema tomando o logaritmo natural. Isso porque o expoente
fica multiplicando um logaritmo e isso transforma uma expressão exponencial numa expressão de forma
, que é mais fácil de analisar. Depois, se encontrarmos o limite do logaritmo, podemos recuperar o limite original exponenciando.
Então vamos estudar
Usando a propriedade
, obtemos
Passo 3
Mudança de variável para passar a um limite mais padrão: defina
. Quando
temos
. Reescrevendo,
e o problema reduz-se a calcular
Passo 4
Cálculo do limite usando uma propriedade básica de limites (ou L’Hôpital): é uma propriedade fundamental do logaritmo que
Aplicando isso com
obtemos
Multiplicando ambos os lados por
dá
(Comentário curto sobre porque essa propriedade vale: a função
é diferenciável em
e sua derivada ali é
; portanto o quociente
tende a essa derivada quando
. Alternativamente pode-se usar L’Hôpital:
.)
Passo 5
Concluímos, a partir do passo anterior, que
Como a função exponencial é contínua, podemos aplicar a exponenciação no limite:
Passo 6
Interpretação final e incentivo: a sequência converge e seu limite é
. Isso é um caso particular da regra geral
que costuma cair bastante em provas. Se ficar com medo, decore a técnica: tomar logaritmo, trocar em função de
, usar
quando
, e depois exp().