Questão 4(2,0) Determine a convolução:
x[n]=2 de<a[n]+de<a[n-1] e h[n]=de<a[n]+de<a[n-1]

Passo 1

O enunciado pede a convolução discreta de
x[n]=2de<a[n]+de<a[n-1]
com
h[n]=de<a[n]+de<a[n-1]
O conteúdo da matéria é a definição de convolução discreta e a propriedade de deslocamento da delta de Kronecker.

Passo 2

A definição de convolução discreta é
y[n]=sumk=-infty^inftyx[k],h[n-k]
Substituindo x[k]=2de<a[k]+de<a[k-1], temos
y[n] =sumk=-infty^inftyl(2de<a[k]+de<a[k-1]r),h[n-k]

Passo 3

Separamos a soma em duas partes usando linearidade:
y[n] =2sumk=-infty^inftyde<a[k],h[n-k] +sumk=-infty^inftyde<a[k-1],h[n-k]

Passo 4

Usamos a propriedade de amostragem da delta:
sumkde<a[k],h[n-k]=h[n], sumkde<a[k-1],h[n-k]=h[n-1]
Logo
y[n]=2,h[n]+h[n-1]

Passo 5

Substituindo h[n]=de<a[n]+de<a[n-1] e h[n-1]=de<a[n-1]+de<a[n-2], obtemos
y[n] =2l(de<a[n]+de<a[n-1]r) +(de<a[n-1]+de<a[n-2]) =2de<a[n]+3de<a[n-1]+de<a[n-2]

Resposta

y[n]=2de<a[n]+3de<a[n-1]+de<a[n-2]

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