Questão 5. Determine se a função dada é par, impar ou nenhuma das duas.
Passo 1
O enunciado dá a função
definida por
e pede para determinar se essa função é par, ímpar ou nenhuma das duas.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- A expressão da função é
. - A pergunta é: “par, ímpar ou nenhuma das duas?” (ou seja, verificar a paridade).
Passo 2
Relembrando o que significa ser par ou ímpar (isso é importante para saber o que testar):
- Uma função
é par se, para todo no domínio, valer . - Uma função
é ímpar se, para todo no domínio, valer .
Observação importante: para que essas definições façam sentido devemos ter domínio simétrico em relação a, ou seja, se pertence ao domínio então também deve pertencer ao domínio. Vou verificar isso para a nossa função.
Passo 3
Determinar o domínio de
: a tangente está indefinida quando o cosseno do argumento é zero. Então exigimos
. Os zeros de
são
,
. Assim o domínio é
ou seja
Passo 4
Verificar se o domínio é simétrico: se
é um ponto excluído, então
que também é da forma
com
. Portanto, os pontos excluídos vêm em pares
e
, e o domínio é simétrico em relação a
. Assim, é legítimo testar as igualdades
ou
.
Passo 5
Usar a propriedade da tangente: a tangente é uma função ímpar porque
é ímpar e
é par, e
. Formalmente,
Passo 6
Calcular
explicitamente e comparar com
:
Pelo passo anterior,
Portanto
para todo
no domínio.
Passo 7
Conclusão: como para todo
do domínio temos
e o domínio é simétrico, a função
é ímpar. Um exemplo concreto para sentir na pele:
e
, que confirma o comportamento ímpar.
Resposta
ímpar