Questão 5. Determine se a função dada é par, impar ou nenhuma das duas.
f(x)=\tan 2 x

Passo 1

O enunciado dá a função f definida por f(x)=\tan 2x e pede para determinar se essa função é par, ímpar ou nenhuma das duas.
Informações relevantes fornecidas:
  • A expressão da função é f(x)=\tan 2x.
  • A pergunta é: “par, ímpar ou nenhuma das duas?” (ou seja, verificar a paridade).

Passo 2

Relembrando o que significa ser par ou ímpar (isso é importante para saber o que testar):
  • Uma função f é par se, para todo x no domínio, valer \;f(-x)=f(x).
  • Uma função f é ímpar se, para todo x no domínio, valer \;f(-x)=-f(x).
    Observação importante: para que essas definições façam sentido devemos ter domínio simétrico em relação a 0, ou seja, se x pertence ao domínio então -x também deve pertencer ao domínio. Vou verificar isso para a nossa função.

Passo 3

Determinar o domínio de f(x)=\tan 2x: a tangente está indefinida quando o cosseno do argumento é zero. Então exigimos \cos(2x)\neq0. Os zeros de \cos são \frac{\pi}{2}+k\pi, k\in\mathbb{Z}. Assim o domínio é
\{x\in\mathbb{R}\mid 2x\neq \tfrac{\pi}{2}+k\pi\}
ou seja
x\neq \tfrac{\pi}{4}+k\tfrac{\pi}{2},\quad k\in\mathbb{Z}.

Passo 4

Verificar se o domínio é simétrico: se a=\tfrac{\pi}{4}+k\tfrac{\pi}{2} é um ponto excluído, então
-a = -\tfrac{\pi}{4}-k\tfrac{\pi}{2} = \tfrac{\pi}{4}+(-k-1)\tfrac{\pi}{2},
que também é da forma \tfrac{\pi}{4}+m\tfrac{\pi}{2} com m=-k-1\in\mathbb{Z}. Portanto, os pontos excluídos vêm em pares a e -a, e o domínio é simétrico em relação a 0. Assim, é legítimo testar as igualdades f(-x)=f(x) ou f(-x)=-f(x).

Passo 5

Usar a propriedade da tangente: a tangente é uma função ímpar porque \sin é ímpar e \cos é par, e \tan u=\dfrac{\sin u}{\cos u}. Formalmente,
\tan(-u)=\frac{\sin(-u)}{\cos(-u)}=\frac{-\sin u}{\cos u}=-\tan u.

Passo 6

Calcular f(-x) explicitamente e comparar com f(x):
f(-x)=\tan\bigl(2(-x)\bigr)=\tan(-2x).
Pelo passo anterior,
\tan(-2x)=-\tan(2x).
Portanto
f(-x)=-\tan(2x)=-f(x),
para todo x no domínio.

Passo 7

Conclusão: como para todo x do domínio temos f(-x)=-f(x) e o domínio é simétrico, a função f(x)=\tan 2x é ímpar. Um exemplo concreto para sentir na pele: \;f(\tfrac{\pi}{8})=\tan(\tfrac{\pi}{4})=1 e \;f(-\tfrac{\pi}{8})=\tan(-\tfrac{\pi}{4})=-1, que confirma o comportamento ímpar.

Resposta

ímpar

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