Encontre a solução geral para a equação dada, em que (y_{1}) é uma solução conhecida.
(y^{\prime \prime \prime}+6 y^{\prime \prime}+y^{\prime}-34 y=0 ; \quad y_{1}=e^{-4 x} \cos x)

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial linear homogênea de coeficientes constantes
y^{\prime\prime\prime}+6y^{\prime\prime}+y^{\prime}-34y=0
e informa uma solução conhecida
y_{1}=e^{-4x}\cos x.
O que se pede: encontrar a solução geral da equação — ou seja, a família de todas as soluções reais, com constantes arbitrárias.

Passo 2

Estratégia geral (sem resolver ainda): para equações lineares com coeficientes constantes a técnica padrão é procurar soluções da forma
y=e^{rx},
porque derivando e^{rx} multiplicamos por r: y'=r e^{rx}, y''=r^{2}e^{rx}, y'''=r^{3}e^{rx}. Substituindo essa forma na equação homogênea transforma-se o problema numa equação algébrica para r (chamada equação característica). Vou mostrar isso passo a passo.

Passo 3

Substituindo y=e^{rx} na equação e dividindo por e^{rx} (que nunca é zero) obtemos a equação característica
r^{3}+6r^{2}+r-34=0.
Portanto precisamos fatorar esse polinômio cúbico e encontrar suas raízes r; cada raiz fornece uma solução e^{rx}.

Passo 4

Usamos a informação dada: y_{1}=e^{-4x}\cos x. Observe que e^{-4x}\cos x é a parte real de e^{(-4+i)x}, isto é,
e^{(-4+i)x}=e^{-4x}(\cos x + i\sin x).
Se e^{(-4+i)x} for solução complexa da equação, então o expoente r=-4+i é raiz da equação característica, e por coeficientes reais da equação também r=-4-i (conjugado) é raiz. Portanto o polinômio característico tem o fator quadrático correspondente às raízes complexas conjugadas:
\big(r-(-4+i)\big)\big(r-(-4-i)\big)=(r+4-i)(r+4+i)=(r+4)^{2}+1=r^{2}+8r+17.

Passo 5

Agora fatoramos o cúbico usando esse quadrático. Queremos dividir
r^{3}+6r^{2}+r-34
por
r^{2}+8r+17.
Procuramos um quociente linear r+a. Multiplicando:
(r^{2}+8r+17)(r+a)=r^{3}+(8+a)r^{2}+(17+8a)r+17a.
Comparando coeficientes com r^{3}+6r^{2}+1r-34 obtemos o sistema
8+a=6,\qquad 17+8a=1,\qquad 17a=-34.
Da primeira equação a=-2. Verificando nas outras: 17+8(-2)=17-16=1 correto; 17(-2)=-34 correto. Logo a divisão dá exatamente
r^{3}+6r^{2}+r-34=(r^{2}+8r+17)(r-2).

Passo 6

Das fatorizações obtemos as raízes:
r=2,\qquad r=-4\pm i.
Cada raiz real simples r=2 dá a solução real e^{2x}. Para a dupla complexa r=-4\pm i (par conjugado) as duas soluções reais independentes associadas são
e^{-4x}\cos x\quad\text{e}\quad e^{-4x}\sin x,
porque são, respectivamente, a parte real e a parte imaginária de e^{(-4+i)x}. (Regra geral: se r=\alpha\pm i\beta são raízes simples, então e^{\alpha x}\cos(\beta x) e e^{\alpha x}\sin(\beta x) são soluções reais linearly independentes.)

Passo 7

Como o espaço de soluções de uma equação linear de terceira ordem tem dimensão 3, as três soluções independentes que encontramos formam uma base de soluções. Assim a solução geral é combinação linear dessas três soluções com constantes reais C_{1},C_{2},C_{3}:
y=C_{1}e^{2x}+C_{2}e^{-4x}\cos x + C_{3}e^{-4x}\sin x.
Isso é consistente com a solução conhecida y_{1}=e^{-4x}\cos x (correspondente a C_{1}=0, C_{2}=1, C_{3}=0).

Resposta

y=C_{1}e^{2x}+e^{-4x}\big(C_{2}\cos x + C_{3}\sin x\big)

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