Encontre a solução geral para a equação dada, em que (y_{1}) é uma solução conhecida.
(y^{\prime \prime \prime}+6 y^{\prime \prime}+y^{\prime}-34 y=0 ; \quad y_{1}=e^{-4 x} \cos x)
(y^{\prime \prime \prime}+6 y^{\prime \prime}+y^{\prime}-34 y=0 ; \quad y_{1}=e^{-4 x} \cos x)
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial linear homogênea de coeficientes constantes
e informa uma solução conhecida
O que se pede: encontrar a solução geral da equação — ou seja, a família de todas as soluções reais, com constantes arbitrárias.
Passo 2
Estratégia geral (sem resolver ainda): para equações lineares com coeficientes constantes a técnica padrão é procurar soluções da forma
porque derivando
multiplicamos por
:
,
,
. Substituindo essa forma na equação homogênea transforma-se o problema numa equação algébrica para
(chamada equação característica). Vou mostrar isso passo a passo.
Passo 3
Substituindo
na equação e dividindo por
(que nunca é zero) obtemos a equação característica
Portanto precisamos fatorar esse polinômio cúbico e encontrar suas raízes
; cada raiz fornece uma solução
.
Passo 4
Usamos a informação dada:
. Observe que
é a parte real de
, isto é,
Se
for solução complexa da equação, então o expoente
é raiz da equação característica, e por coeficientes reais da equação também
(conjugado) é raiz. Portanto o polinômio característico tem o fator quadrático correspondente às raízes complexas conjugadas:
Passo 5
Agora fatoramos o cúbico usando esse quadrático. Queremos dividir
por
Procuramos um quociente linear
. Multiplicando:
Comparando coeficientes com
obtemos o sistema
Da primeira equação
. Verificando nas outras:
correto;
correto. Logo a divisão dá exatamente
Passo 6
Das fatorizações obtemos as raízes:
Cada raiz real simples
dá a solução real
. Para a dupla complexa
(par conjugado) as duas soluções reais independentes associadas são
porque são, respectivamente, a parte real e a parte imaginária de
. (Regra geral: se
são raízes simples, então
e
são soluções reais linearly independentes.)
Passo 7
Como o espaço de soluções de uma equação linear de terceira ordem tem dimensão
, as três soluções independentes que encontramos formam uma base de soluções. Assim a solução geral é combinação linear dessas três soluções com constantes reais
:
Isso é consistente com a solução conhecida
(correspondente a
,
,
).