O que o problema pede: determinar o intervalo de convergência (isto é, os valores de x reais para os quais a série converge). Informação dada relevante: o termo geral é \displaystyle a_k x^k com \displaystyle a_k = \frac{(-1)^{k-1}}{\sqrt{k}}. Não há outra condição extra no enunciado.
Passo 2
Vamos achar primeiro o raio de convergência R. Técnica usada: o teste da raiz (ou a fórmula de Cauchy–Hadamard para séries de potência). Para uma série \sum a_k x^k temos que considerar
Agora calculemos o limite \lim_{k\to\infty} k^{-1/(2k)}. Tomando logaritmo:
\ln\!\big(k^{-1/(2k)}\big) = -\frac{1}{2k}\ln k \longrightarrow 0 \quad\text{quando }k\to\infty,
pois \ln k / k \to 0. Logo k^{-1/(2k)} \to e^{0}=1. Portanto
\limsup_{k\to\infty} |a_k|^{1/k} = 1,
e a condição do teste da raiz fica |x|\cdot 1 < 1, ou seja, converge para |x|<1 e diverge para |x|>1. Assim o raio de convergência é R=1.
Passo 3
Conclusão parcial: a série converge (na verdade converge absolutamente) para todo x com |x|<1, e diverge para |x|>1. Vou explicar por que é convergência absoluta quando |x|<1: a série de módulos é
\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{\sqrt{k}}|x|^k.
Aplicando novamente o teste da raiz, o k-ésimo radical tende a |x|<1, logo a série de módulos converge, isto é, a série original converge absolutamente dentro do intervalo |x|<1.
Passo 4
Falta analisar os endpoints x=1 e x=-1.
Primeiro x=1: substituindo obtemos
\sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k-1}}{\sqrt{k}}.
Este é um exemplo clássico para o teste de séries alternadas (teste de Leibniz). O teste de Leibniz diz: se (b_k) é uma sequência positiva, monotonamente decrescente com b_k\to 0, então \sum (-1)^{k} b_k converge. Aqui podemos tomar b_k=1/\sqrt{k}. Verificações: b_k>0, b_{k+1}=1/\sqrt{k+1}<1/\sqrt{k}=b_k (logo é decrescente) e b_k\to 0. Portanto a série alternada converge. Observação importante: não é convergência absoluta, porque a série de módulos \sum 1/\sqrt{k} é divergente (é uma p-série com p=1/2\le 1). Então em x=1 a série converge condicionalmente.
Mas \sum_{k=1}^{\infty} 1/\sqrt{k} é divergente (novamente p-série com p=1/2\le1), logo a série em x=-1 diverge (para -\infty, na verdade). Portanto x=-1 não pertence ao conjunto de convergência.
Passo 6
Juntando tudo: converge absolutamente para |x|<1, converge condicionalmente em x=1, e diverge em x=-1 e para |x|>1. Assim o intervalo de convergência real é (-1,1].