Questão 4. Determine os seguintes limites
Passo 1
O enunciado pede que se calcule o limite quando
tende a
da expressão
Informações dadas:
- A expressão a avaliar é
. - A variável tende para
.
A pergunta é: qual é o valor de?
Passo 2
Primeiro teste rápido: tentar substituir
diretamente na expressão para ver se a função é contínua ali. Calculando o numerador e o denominador em
:
logo a substituição direta dá a forma indeterminada
. Quando surge
não podemos concluir o valor do limite — isso indica que é preciso manipular a expressão algébricamente para remover a indeterminação.
Explicando de leve: a forma
é chamada indeterminada porque diferentes formas de simplificar podem levar a limites diferentes; por isso precisamos simplificar a expressão antes de avaliar o limite.
Passo 3
Vamos fatorar o numerador
. Primeiro, tirar fator comum
:
Agora reconhecemos que
é uma diferença de quadrados, que se fatoriza como
. Então
Passo 4
Substituindo a fatoração na fração original obtemos, para
,
Como estamos calculando um limite quando
(e não avaliando exatamente em
), podemos simplificar cancelando o fator
no numerador e denominador para
. Após o cancelamento ficamos com
Passo 5
A expressão simplificada
é uma função polinomial, portanto contínua. Para limites de funções contínuas, basta substituir o ponto de aproximação. Assim
Observação rápida: outra maneira (mais avançada) seria aplicar a regra de L’Hôpital porque tínhamos a forma
; derivando numerador e denominador obtém-se o mesmo resultado. Escolhi a fatoração porque é mais simples e exige apenas álgebra básica.