Questão 4. Determine os seguintes limites
\lim _{x \rightarrow 1} \frac{x^{3}-x}{x-1}

Passo 1

O enunciado pede que se calcule o limite quando x tende a 1 da expressão
\frac{x^{3}-x}{x-1}.
Informações dadas:
  • A expressão a avaliar é \dfrac{x^{3}-x}{x-1}.
  • A variável tende para x\to1.
    A pergunta é: qual é o valor de \displaystyle\lim_{x\to1}\dfrac{x^{3}-x}{x-1}?

Passo 2

Primeiro teste rápido: tentar substituir x=1 diretamente na expressão para ver se a função é contínua ali. Calculando o numerador e o denominador em x=1:
1^{3}-1=0,\qquad 1-1=0,
logo a substituição direta dá a forma indeterminada \dfrac{0}{0}. Quando surge \dfrac{0}{0} não podemos concluir o valor do limite — isso indica que é preciso manipular a expressão algébricamente para remover a indeterminação.
Explicando de leve: a forma \dfrac{0}{0} é chamada indeterminada porque diferentes formas de simplificar podem levar a limites diferentes; por isso precisamos simplificar a expressão antes de avaliar o limite.

Passo 3

Vamos fatorar o numerador x^{3}-x. Primeiro, tirar fator comum x:
x^{3}-x = x\bigl(x^{2}-1\bigr).
Agora reconhecemos que x^{2}-1 é uma diferença de quadrados, que se fatoriza como (x-1)(x+1). Então
x^{3}-x = x\bigl(x-1\bigr)\bigl(x+1\bigr).

Passo 4

Substituindo a fatoração na fração original obtemos, para x\neq1,
\frac{x^{3}-x}{x-1} = \frac{x\bigl(x-1\bigr)\bigl(x+1\bigr)}{x-1}.
Como estamos calculando um limite quando x\to1 (e não avaliando exatamente em x=1), podemos simplificar cancelando o fator (x-1) no numerador e denominador para x\neq1. Após o cancelamento ficamos com
\frac{x^{3}-x}{x-1} = x\bigl(x+1\bigr)\quad\text{para }x\neq1.

Passo 5

A expressão simplificada x(x+1) é uma função polinomial, portanto contínua. Para limites de funções contínuas, basta substituir o ponto de aproximação. Assim
\lim_{x\to1}\frac{x^{3}-x}{x-1} = \lim_{x\to1} x\bigl(x+1\bigr) = 1\cdot(1+1)=2.
Observação rápida: outra maneira (mais avançada) seria aplicar a regra de L’Hôpital porque tínhamos a forma \tfrac{0}{0}; derivando numerador e denominador obtém-se o mesmo resultado. Escolhi a fatoração porque é mais simples e exige apenas álgebra básica.

Resposta

2

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