Questão 3. Determine os limites abaixo.
\lim _{x \rightarrow 3} \frac{4 x+2}{2 x+1}

Passo 1

O enunciado pede o limite quando x tende a 3 da função racional
\frac{4x+2}{2x+1}.
Ou seja, a pergunta é: qual é o valor de
\lim_{x\to 3}\frac{4x+2}{2x+1}?
Informações dadas: a expressão algébrica do numerador é 4x+2 e do denominador é 2x+1. O ponto de interesse é x=3.

Passo 2

Ideia geral (sem resolver ainda): para limites de funções racionais (frações de polinômios) normalmente podemos avaliar o limite simplesmente substituindo x pelo valor pedido, desde que o denominador que resulte não seja zero. Isso acontece porque polinômios são funções contínuas em todo lugar e quociente de funções contínuas é contínuo onde o denominador é não nulo. Vou verificar primeiro se o denominador em x=3 é zero ou não.

Passo 3

Calcular o denominador em x=3:
2\cdot 3 + 1 = 6 + 1 = 7.
Como 7 \neq 0, a função é contínua em x=3. Portanto o limite existe e é igual ao valor da função em x=3:
\lim_{x\to 3}\frac{4x+2}{2x+1} = \frac{4\cdot 3 + 2}{2\cdot 3 + 1}.

Passo 4

Calcular o valor da expressão em x=3:
4\cdot 3 + 2 = 12 + 2 = 14, \qquad 2\cdot 3 + 1 = 7,
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\frac{4\cdot 3 + 2}{2\cdot 3 + 1} = \frac{14}{7} = 2.

Passo 5

Observação alternativa (útil para provas): pode-se fatorar o numerador:
4x+2 = 2(2x+1),
portanto, para x\neq -\tfrac{1}{2},
\frac{4x+2}{2x+1} = \frac{2(2x+1)}{2x+1} = 2.
Isso mostra que a função vale 2 para todo x exceto possivelmente em x=-\tfrac{1}{2}. Como 3 não é -\tfrac{1}{2}, o limite em x\to3 é 2, consistente com o cálculo anterior.

Resposta

2

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