QUESTÃO 4: Determine se os seguintes sinais são periódicos. Se o forem, encontre o período fundamental:
x(t)=v(t)+v(-t), em que v(t)=sen(t) u(t)

Passo 1

O enunciado define
v(t) = sin(t),u(t)
onde u(t) é a função degrau unitário, e pede o sinal
x(t) = v(t) + v(-t)
e que verifiquemos se ele é periódico e, em caso afirmativo, encontremos seu período fundamental. Vamos usar a definição de sinal periódico: existe T>0 tal que
x(t+T) = x(t)forall t

Passo 2

Escrevendo v(-t) em termos de u(-t):
v(-t)=sin(-t),u(-t)=-sin(t),u(-t)
Logo
x(t)=v(t)+v(-t)=sin(t),u(t)-sin(t),u(-t)
Isso gera a forma por partes:
x(t)= sin(t),&t>=0, -sin(t),&t<0

Passo 3

Como sin(-t)=-sin(t), para t<0 temos -sin(t)=sin(-t). Assim
x(t)= sin(t),&t>=0, sin(-t),&t<0,
ou seja
x(t)=sinl(|t|r)

Passo 4

Suponha que exista T>0 tal que x(t+T)=x(t) para todo t.
– Para t<0 e t+T>=0 teríamos sin(t+T)=-sin(t), logo sin(t+T)+sin(t)=0, o que implica T=pi.
– Mas se T=pi, para t<= -pi temos t+T<=0 e então
x(t+T)=-sin(t+pi)=sin(t), x(t)=-sin(t),
o que daria sin(t)=-sin(t) para todo t<= -pi, o que é absurdo.
Não existe outro T que satisfaça simultaneamente todas as regiões, logo não há T>0 que torne x(t+T)=x(t) ,forall t.

Resposta

O sinal x(t) não é periódico.

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