QUESTÃO 4: Determine se os seguintes sinais são periódicos. Se o forem, encontre o período fundamental:
x(t)=v(t)+v(-t), em que v(t)=cos (t) u(t)

Passo 1

Resumindo, temos o sinal
x(t)=v(t)+v(-t)
com
v(t)=cos(t),u(t),
onde u(t) é a função degrau unitário. O objetivo é verificar se x(t) é periódico e, em caso afirmativo, achar o período fundamental. O conteúdo principal aqui é manipular sinais envolvendo reflexão no tempo e degrau.

Passo 2

Primeiro, calculamos v(-t). Substituindo -t em v, vem
v(-t)=cos(-t),u(-t)
Como cos é função par, cos(-t)=cos(t), logo
v(-t)=cos(t),u(-t)

Passo 3

Somando v(t) e v(-t) obtenho
x(t)=cos(t),u(t)+cos(t),u(-t) =cos(t),l(u(t)+u(-t)r)

Passo 4

Analisamos o termo u(t)+u(-t). Para tneq0, exatamente um dos degraus vale 1 e o outro vale 0, de modo que
u(t)+u(-t)=1para tneq0
No ponto t=0 pode haver ambiguidade de valor do degrau, mas isso afeta apenas um ponto isolado, o que não compromete a periodicidade no sentido de sinais em engenharia. Assim, para todo tneq0
x(t)=cos(t)

Passo 5

A função cos(t) é periódica de período fundamental 2pi. Como x(t) coincide com cos(t) em todo o domínio (com possível ajuste num ponto isolado), concluímos que x(t) é periódico e herda o mesmo período fundamental.

Resposta

O sinal x(t) é periódico e o seu período fundamental é 2pi.

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