Questão 4. Determine se a série converge ou diverge.(TESTE DA INTEGRAL)
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{2 n{2}}{n{3}+1};
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{2 n{2}}{n{3}+1};
Passo 1
O enunciado pede para investigar a convergência da série
usando o teste da integral. Para isso, consideramos a função
definida para
. Vamos verificar que
, que é eventualmente decrescente, e então analisar a integral imprópria
Passo 2
Mostramos que
para todo
e que
é decrescente para
suficientemente grande. Calculamos a derivada:
Para
temos
, logo
. Assim,
é decrescente em
, o que basta para aplicar o teste da integral a partir de algum
.
Passo 3
Calculamos a integral imprópria
Fazemos a substituição
, de modo que
. Então
Passo 4
Como a integral diverge, pelo teste da integral a série
também diverge.
Resposta
A série diverge.