Questão 4. Determine se a série converge ou diverge.(TESTE DA INTEGRAL)
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{2 n{2}}{n{3}+1};

Passo 1

O enunciado pede para investigar a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2\,n^{2}}{n^{3}+1}
usando o teste da integral. Para isso, consideramos a função
f(x)=\frac{2\,x^{2}}{x^{3}+1},
definida para x\ge1. Vamos verificar que f(x)>0, que é eventualmente decrescente, e então analisar a integral imprópria
\int_{1}^{\infty}f(x)\,dx.

Passo 2

Mostramos que f(x)>0 para todo x\ge1 e que f é decrescente para x suficientemente grande. Calculamos a derivada:
f'(x) =\frac{d}{dx}\Bigl(\frac{2x^{2}}{x^{3}+1}\Bigr) =\frac{4x(x^{3}+1)-2x^{2}\cdot3x^{2}}{(x^{3}+1)^{2}} =\frac{-2x\,(x^{3}-2)}{(x^{3}+1)^{2}}.
Para x\ge\sqrt[3]{2}\approx1{,}26 temos x^{3}-2\ge0, logo f'(x)\le0. Assim, f é decrescente em [\sqrt[3]{2},\infty), o que basta para aplicar o teste da integral a partir de algum N.

Passo 3

Calculamos a integral imprópria
\int_{1}^{\infty}\frac{2x^{2}}{x^{3}+1}\,dx.
Fazemos a substituição u=x^{3}+1, de modo que du=3x^{2}\,dx. Então
\int_{1}^{\infty}\frac{2x^{2}}{x^{3}+1}\,dx =\int_{u=2}^{u=\infty}\frac{2}{3}\,\frac{du}{u} =\frac{2}{3}\Bigl[\ln u\Bigr]_{2}^{\infty} =\lim_{U\to\infty}\frac{2}{3}(\ln U-\ln 2) =+\infty.

Passo 4

Como a integral diverge, pelo teste da integral a série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2n^{2}}{n^{3}+1}
também diverge.

Resposta

A série diverge.

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