Questão 4. Determine se a série converge ou diverge.(TESTE DA INTEGRAL)
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n(n-1)};
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n(n-1)};
Passo 1
O enunciado pede analisar a convergência da série
pelo teste da integral. Para aplicar esse teste, vamos associar à soma uma função contínua, positiva e decrescente em .
pelo teste da integral. Para aplicar esse teste, vamos associar à soma uma função contínua, positiva e decrescente em
Passo 2
Note que o termo para
é indefinido, pois dá divisão por zero. Então reescrevemos a série como
.
Definimos a função
para . Essa função é positiva e, pelo cálculo de sua derivada, decrescente em
, satisfazendo as hipóteses do teste da integral.
Definimos a função
para
Passo 3
Calculamos a integral imprópria
Fazendo frações parciais,
logo
Isso dá
Quando
,
e
, restando
, que é finito.
Passo 4
Como a integral
converge (vale ), o teste da integral garante que a série
converge também.
converge (vale
converge também.
Resposta
A série converge.