Questão 4. Determine se a série converge ou diverge.(TESTE DA INTEGRAL)
\sum_{n=1}^{+\infty} \ln \left(\frac{n+3}{n}\right);

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série
\sum_{n=1}^{+\infty} \ln\!\biggl(\frac{n+3}{n}\biggr)
usando o teste da integral. O conteúdo aqui é o teste de convergência pelo critério integral para séries de termos positivos e decrescentes. Vamos definir uma função contínua que reproduza o termo geral e verificar as hipóteses do teste da integral.

Passo 2

Definimos
f(x)=\ln\!\biggl(\frac{x+3}{x}\biggr)=\ln(x+3)-\ln x,
para x\ge1. Note que
  1. f(x)>0 pois x+3>x, logo o argumento do logaritmo é maior que 1.
  2. f é decrescente, pois
f'(x)=\frac{1}{x+3}-\frac{1}{x} =\frac{x-(x+3)}{x(x+3)} =-\frac{3}{x(x+3)}<0.
Assim, todas as hipóteses do teste da integral (positividade, continuidade e decrescimento) estão satisfeitas.

Passo 3

Aplicamos o teste integrando de 1 até +\infty:
\int_{1}^{+\infty}f(x)\,dx =\int_{1}^{+\infty}\bigl[\ln(x+3)-\ln x\bigr]\,dx.
Calculamos uma primitiva:
\int\ln(x+3)\,dx=(x+3)\ln(x+3)-(x+3)+C, \quad \int\ln x\,dx=x\ln x -x +C.
Logo,
\int\bigl[\ln(x+3)-\ln x\bigr]dx =(x+3)\ln(x+3)-(x+3)\;-\;(x\ln x -x) =(x+3)\ln(x+3)-x\ln x-3.
Avaliando de 1 a A e fazendo A\to+\infty,
\int_{1}^{A}f(x)\,dx =\bigl[(A+3)\ln(A+3)-A\ln A-3\bigr] -\bigl[4\ln4-0-3\bigr].
Para grandes A, (A+3)\ln(A+3)-A\ln A\sim3\ln A\to+\infty. Portanto
\int_{1}^{+\infty}f(x)\,dx=+\infty.

Passo 4

Como a integral imprópria diverge, o teste da integral garante que a série \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\ln\!\bigl(\frac{n+3}{n}\bigr)
também diverge.

Resposta

A série diverge.

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