Questão 4. Determine se a série converge ou diverge.(TESTE DA INTEGRAL)
\sum_{n=1}^{+\infty} \ln \left(\frac{n+3}{n}\right);
\sum_{n=1}^{+\infty} \ln \left(\frac{n+3}{n}\right);
Passo 1
O enunciado pede para estudar a convergência da série
usando o teste da integral. O conteúdo aqui é o teste de convergência pelo critério integral para séries de termos positivos e decrescentes. Vamos definir uma função contínua que reproduza o termo geral e verificar as hipóteses do teste da integral.
Passo 2
Definimos
para
. Note que
-
pois , logo o argumento do logaritmo é maior que 1. -
é decrescente, pois
Assim, todas as hipóteses do teste da integral (positividade, continuidade e decrescimento) estão satisfeitas.
Passo 3
Aplicamos o teste integrando de 1 até
:
Calculamos uma primitiva:
Logo,
Avaliando de
a
e fazendo
,
Para grandes
,
. Portanto
Passo 4
Como a integral imprópria diverge, o teste da integral garante que a série
também diverge.
também diverge.
Resposta
A série diverge.