Questão 4. Determine se a série converge ou diverge.(TESTE DA INTEGRAL)
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n(\ln n)^{2}};
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n(\ln n)^{2}};
Passo 1
O enunciado pede para estudarmos a convergência da série
pelо teste da integral. Note que em o termo é indefinido, então de fato analisamos
.
Para aplicar o teste da integral, vamos associar à soma a função
pelо teste da integral. Note que em
Para aplicar o teste da integral, vamos associar à soma a função
definida para
.
Passo 2
Verificamos as hipóteses do teste da integral para
em
:
-
pois e . -
é contínua para (em particular para ). -
é decrescente para , pois
Logo, podemos comparar a série com a integral imprópria
.
Passo 3
Calculamos
Fazemos a mudança de variável
, de modo que
. Assim
Passo 4
A integral em
é elementar:
que é um número finito.
Passo 5
Como a integral imprópria
converge, o teste da integral garante que a série
também converge. Portanto, a série original diverge apenas pontualmente em mas converge globalmente do termo
em diante.
converge, o teste da integral garante que a série
também converge. Portanto, a série original diverge apenas pontualmente em
Resposta
A série
converge.