Questão 4. Determine se a série converge ou diverge.(TESTE DA INTEGRAL)
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n(\ln n)^{2}};

Passo 1

O enunciado pede para estudarmos a convergência da série \displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n(\ln n)^{2}}
pelо teste da integral. Note que em n=1 o termo é indefinido, então de fato analisamos \displaystyle \sum_{n=2}^{+\infty}\frac{1}{n(\ln n)^{2}}.
Para aplicar o teste da integral, vamos associar à soma a função
f(x)=\frac{1}{x(\ln x)^{2}},
definida para x\ge2.

Passo 2

Verificamos as hipóteses do teste da integral para f(x) em [2,\infty):
  1. f(x)>0 pois x>0 e (\ln x)^{2}>0.
  2. f é contínua para x>1 (em particular para x\ge2).
  3. f é decrescente para x\ge2, pois
f'(x) =\frac{d}{dx}\bigl[x^{-1}(\ln x)^{-2}\bigr] =-\frac{1}{x^2(\ln x)^{2}} -\frac{2}{x^2(\ln x)^{3}} <0.
Logo, podemos comparar a série com a integral imprópria \displaystyle \int_{2}^{\infty}f(x)\,dx.

Passo 3

Calculamos
\int_{2}^{\infty}\frac{dx}{x(\ln x)^{2}}.
Fazemos a mudança de variável \displaystyle t=\ln x, de modo que dt=\tfrac{dx}{x}. Assim
\int_{2}^{\infty}\frac{dx}{x(\ln x)^{2}} =\int_{\ln 2}^{\infty}\frac{dt}{t^{2}}.

Passo 4

A integral em t é elementar:
\int_{\ln 2}^{\infty}\frac{dt}{t^{2}} =\lim_{T\to\infty}\Bigl[-\frac{1}{t}\Bigr]_{t=\ln 2}^{t=T} =\lim_{T\to\infty}\Bigl(-\frac{1}{T}+\frac{1}{\ln 2}\Bigr) =\frac{1}{\ln 2},
que é um número finito.

Passo 5

Como a integral imprópria \displaystyle \int_{2}^{\infty}\frac{dx}{x(\ln x)^{2}}
converge, o teste da integral garante que a série \displaystyle \sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n(\ln n)^{2}}
também converge. Portanto, a série original diverge apenas pontualmente em n=1 mas converge globalmente do termo n=2 em diante.

Resposta

A série \displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n(\ln n)^{2}} converge.

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