Questão 4. Determine se a série converge ou diverge.(TESTE DA INTEGRAL)
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{2}{n \sqrt{n^{2}-1}};

Passo 1

O enunciado pede para decidir se a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2}{n\,\sqrt{n^2-1}}
converge ou diverge usando o teste da integral. O conteúdo é o teste da integral: associar à sequência de termos a_n uma função contínua, positiva e decrescente f(x) de modo que f(n)=a_n para n grande, e verificar a convergência de
\int_{N}^{\infty} f(x)\,dx.

Passo 2

Definimos
f(x)=\frac{2}{x\sqrt{x^2-1}},
válida para x>1.
  1. f(x)>0 para todo x>1.
  2. f é contínua em [2,\infty).
  3. Para mostrar que f é decrescente em [2,\infty), calculamos
\frac{d}{dx}\bigl(\ln f(x)\bigr) =-\frac1x-\frac{x}{x^2-1} =-\frac{2x^2-1}{x(x^2-1)}<0 \quad(\forall x\ge2),
logo f'(x)<0. Assim, as hipóteses do teste da integral estão satisfeitas a partir de N=2.

Passo 3

Aplicamos o teste da integral, estudando
\int_{2}^{\infty}\frac{2}{x\sqrt{x^2-1}}\,dx.
Usamos a substituição trigonométrica x=\operatorname{sec}\theta, com \theta\in[0,\pi/2):
dx=\operatorname{sec}\theta\tan\theta\,d\theta, \quad \sqrt{x^2-1}=\tan\theta.
Assim
\frac{2}{x\sqrt{x^2-1}}\,dx =\frac{2}{\operatorname{sec}\theta\cdot\tan\theta}\,\bigl(\operatorname{sec}\theta\tan\theta\,d\theta\bigr) =2\,d\theta.
Quando x=2, \theta=\arcsec(2)=\operatorname{arccos}(\tfrac12)=\tfrac{\pi}{3}; quando x\to\infty, \theta\to\tfrac{\pi}{2}. Portanto
\int_{2}^{\infty}\frac{2}{x\sqrt{x^2-1}}\,dx =\int_{\pi/3}^{\pi/2}2\,d\theta =2\Bigl[\theta\Bigr]_{\pi/3}^{\pi/2} =2\Bigl(\tfrac{\pi}{2}-\tfrac{\pi}{3}\Bigr) =\frac{\pi}{3}<\infty.

Passo 4

Como a integral imprópria converge e f satisfaz as condições do teste da integral, concluímos que
\sum_{n=2}^{\infty}\frac{2}{n\sqrt{n^2-1}}
converge. Note que o termo n=1 não está definido, mas isso não altera o comportamento assintótico: a partir de n=2 a série é convergente.

Resposta

A série \sum_{n=1}^{\infty} \tfrac{2}{n\sqrt{n^2-1}} converge.

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