Questão 4. Determine se a série converge ou diverge.(TESTE DA INTEGRAL)
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{2}{n \sqrt{n^{2}-1}};
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{2}{n \sqrt{n^{2}-1}};
Passo 1
O enunciado pede para decidir se a série
converge ou diverge usando o teste da integral. O conteúdo é o teste da integral: associar à sequência de termos
uma função contínua, positiva e decrescente
de modo que
para
grande, e verificar a convergência de
Passo 2
Definimos
válida para
.
-
para todo . -
é contínua em . - Para mostrar que
é decrescente em , calculamos
logo
. Assim, as hipóteses do teste da integral estão satisfeitas a partir de
.
Passo 3
Aplicamos o teste da integral, estudando
Usamos a substituição trigonométrica
, com
:
Assim
Quando
,
; quando
,
. Portanto
Passo 4
Como a integral imprópria converge e
satisfaz as condições do teste da integral, concluímos que
converge. Note que o termo
não está definido, mas isso não altera o comportamento assintótico: a partir de
a série é convergente.
Resposta
A série
converge.