Questão 4. Determine se a série converge ou diverge.(TESTE DA INTEGRAL)
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^{2}-1};
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^{2}-1};
Passo 1
O enunciado pede para analisar a convergência da série
usando o teste da integral. O conteúdo principal é o teste da integral para séries positivas: comparamos
com a integral imprópria de uma função que satisfaça
, seja contínua, positiva e decrescente em
.
usando o teste da integral. O conteúdo principal é o teste da integral para séries positivas: comparamos
com a integral imprópria de uma função
Passo 2
Note que o termo de índice
é
, indefinido. Logo, a série efetivamente começa em
:
.
Definimos a função
Definimos a função
de modo que
.
Passo 3
Verificamos que em
temos
, logo
. Além disso,
logo
é decrescente em
. Assim, podemos aplicar o teste da integral.
Passo 4
Calculamos a integral imprópria
Usando frações parciais,
portanto
Fazendo
, tem-se
, de modo que o valor da integral é
que é finito.
Passo 5
Como
,
pelo teste da integral a série
converge.
pelo teste da integral a série
converge.
Resposta
A série converge.