Questão 4. Determine se a série converge ou diverge.(TESTE DA INTEGRAL)
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^{2}-1};

Passo 1

O enunciado pede para analisar a convergência da série \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}-1}
usando o teste da integral. O conteúdo principal é o teste da integral para séries positivas: comparamos \sum_{n=N}^{\infty}a_{n}
com a integral imprópria de uma função f(x) que satisfaça f(n)=a_n, seja contínua, positiva e decrescente em [N,\infty).

Passo 2

Note que o termo de índice n=1 é \tfrac1{1^2-1}=\tfrac1{0}, indefinido. Logo, a série efetivamente começa em n=2: \displaystyle \sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n^{2}-1}.
Definimos a função
f(x)=\frac{1}{x^{2}-1},\quad x\ge2,
de modo que f(n)=a_n.

Passo 3

Verificamos que em [2,\infty) temos x^2-1>0, logo f(x)>0. Além disso,
f'(x) =-\frac{2x}{(x^2-1)^2}<0\quad\text{para }x>1,
logo f é decrescente em [2,\infty). Assim, podemos aplicar o teste da integral.

Passo 4

Calculamos a integral imprópria
\int_{2}^{\infty}\frac{dx}{x^{2}-1}.
Usando frações parciais,
\frac{1}{x^2-1} =\frac12\Bigl(\frac1{x-1}-\frac1{x+1}\Bigr),
portanto
\int_{2}^{R}\frac{dx}{x^{2}-1} =\frac12\Bigl[\ln|x-1|-\ln|x+1|\Bigr]_{2}^{R} =\frac12\Bigl(\ln\frac{R-1}{R+1}-\ln\frac{1}{3}\Bigr).
Fazendo R\to\infty, tem-se \ln\frac{R-1}{R+1}\to0, de modo que o valor da integral é
-\frac12\ln\frac{1}{3} =\frac12\ln3,
que é finito.

Passo 5

Como \displaystyle \int_{2}^{\infty}\frac{dx}{x^{2}-1}<\infty,
pelo teste da integral a série \displaystyle \sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n^{2}-1}
converge.

Resposta

A série converge.

Exercícios relacionados