Questão 7. Determine, usando convolução, as funções
cujas Transformadas de Fourier são dadas.
Passo 1
O enunciado pede a função
cuja transformada de Fourier (no sinal de análise
) é
Para inverter essa expressão, vamos usar três ingredientes principais:
- fatorar o denominador em fatores lineares em
; - escrever
como soma de frações parciais; - usar o teorema do resíduo (ou tabelas de transformadas conhecidas) para inverter cada termo do tipo
.
Passo 2
Fatoramos o polinômio do denominador. Note que
e as raízes de
são
Chamando
e
, temos
logo
Passo 3
Fazemos a decomposição em frações parciais:
Para determinar
e
, impomos
Em
dá
.
Em dá
.
Assim
Em
Assim
Passo 4
Agora usamos a inversão pelo contorno:
Como
e
têm
e
, cada termo
só contribui quando
, dando
onde
é a função de Heaviside. Logo, para
,
Passo 5
Simplificando o seno na forma complexa,
então