Questão 7. Determine, usando convolução, as funções f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} cujas Transformadas de Fourier são dadas.
\hat{f}(\omega)=\frac{1}{4-\omega^{2}+2 i \omega}

Passo 1

O enunciado pede a função f:\mathbb R\to\mathbb R cuja transformada de Fourier (no sinal de análise \hat f(\omega)=\int_{-\infty}^\infty f(t)e^{-i\omega t}\,dt) é
\hat f(\omega)=\frac1{4-\omega^2+2i\omega}.
Para inverter essa expressão, vamos usar três ingredientes principais:
  1. fatorar o denominador em fatores lineares em \omega;
  2. escrever \hat f como soma de frações parciais;
  3. usar o teorema do resíduo (ou tabelas de transformadas conhecidas) para inverter cada termo do tipo \frac1{\omega-c}.

Passo 2

Fatoramos o polinômio do denominador. Note que
4-\omega^2+2i\omega = -( \,\omega^2 -2i\omega -4)
e as raízes de \omega^2-2i\omega-4=0 são
\omega = i\pm\sqrt{3}.
Chamando a=i+\sqrt3 e b=i-\sqrt3, temos
4-\omega^2+2i\omega=-(\omega-a)(\omega-b),
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\hat f(\omega) =\frac1{4-\omega^2+2i\omega} =-\frac1{(\omega-a)(\omega-b)}.

Passo 3

Fazemos a decomposição em frações parciais:
-\frac1{(\omega-a)(\omega-b)} =\frac{A}{\omega-a}+\frac{B}{\omega-b}.
Para determinar A e B, impomos
A(\omega-b)+B(\omega-a)=-1 \quad\forall\omega.
Em \omega=a A(a-b)=-1\Rightarrow A=-\frac1{a-b}=-\frac1{2\sqrt3}.
Em \omega=b B(b-a)=-1\Rightarrow B=-\frac1{b-a}=+\frac1{2\sqrt3}.
Assim
\hat f(\omega) =\frac1{2\sqrt3}\Bigl(\frac1{\omega-b}-\frac1{\omega-a}\Bigr).

Passo 4

Agora usamos a inversão pelo contorno:
f(t)=\frac1{2\pi}\int_{-\infty}^\infty\hat f(\omega)\,e^{i\omega t}d\omega.
Como a e b têm \Im a>0 e \Im b>0, cada termo \frac1{\omega-c} só contribui quando t>0, dando
\frac1{2\pi}\int_{-\infty}^\infty\frac{e^{i\omega t}}{\omega-c}\,d\omega =i\,e^{i c t}\,H(t),
onde H(t) é a função de Heaviside. Logo, para t>0,
f(t) =\frac1{2\sqrt3}\Bigl[i\,e^{i b t}-i\,e^{i a t}\Bigr] =\frac{i}{2\sqrt3}\,e^{-t}\bigl(e^{-i\sqrt3\,t}-e^{i\sqrt3\,t}\bigr).

Passo 5

Simplificando o seno na forma complexa,
e^{-i\sqrt3\,t}-e^{i\sqrt3\,t} =-2i\sin(\sqrt3\,t),
então
f(t) =\frac{i}{2\sqrt3}\,e^{-t}\bigl(-2i\sin(\sqrt3\,t)\bigr)H(t) =\frac{1}{\sqrt3}\,e^{-t}\sin(\sqrt3\,t)\,H(t).

Resposta

f(t)= \begin{cases} \displaystyle \frac{1}{\sqrt3}\,e^{-t}\,\sin\bigl(\sqrt3\,t\bigr),&t>0,\\\\ 0,&t<0. \end{cases}

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