Questão 7. Determine, usando convolução, as funções f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} cujas Transformadas de Fourier são dadas.
\hat{f}(\omega)=\frac{1}{(1+i \omega)^{2}}\

Passo 1

O enunciado pede a função f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} cuja Transformada de Fourier é
\hat f(\omega)=\frac{1}{\bigl(1+i\omega\bigr)^{2}}.
O conteúdo envolvido é a Transformada de Fourier e o Teorema da Convolução, que diz que o produto de transformadas corresponde à convolução das funções originais no tempo.

Passo 2

Lembramos do par de transformadas
g(t)=e^{-t}u(t) \quad\longleftrightarrow\quad \hat g(\omega)=\int_{0}^{\infty}e^{-t}e^{-i\omega t}\,dt =\frac{1}{1+i\omega},
onde u(t) é a função degrau de Heaviside.

Passo 3

Pela propriedade de convolução,
\hat f(\omega) =\bigl[\hat g(\omega)\bigr]^{2} =\frac{1}{(1+i\omega)^{2}}
implica que
f(t)=\bigl(g*g\bigr)(t) =\int_{-\infty}^{\infty}g(\tau)\,g(t-\tau)\,d\tau.

Passo 4

Como g(\tau)=e^{-\tau}u(\tau) e g(t-\tau)=e^{-(t-\tau)}u(t-\tau), a integral fica
f(t) =\int_{0}^{t}e^{-\tau}e^{-(t-\tau)}\,d\tau =e^{-t}\int_{0}^{t}d\tau =t\,e^{-t},
válido para t\ge0, e f(t)=0 se t<0.

Resposta

f(t)=t\,e^{-t}\,u(t).

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