Questão 6. Determine um valor de N tal que \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^{4}} está entre \sum_{n=1}^{N} \frac{1}{n^{4}} e \sum_{n=1}^{N} \frac{1}{n^{4}}+0,005;

Passo 1

O enunciado pede um N tal que, chamando
S = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^{4}}
e
S_{N} = \sum_{n=1}^{N} \frac{1}{n^{4}},
tenhamos
S_{N} \;\le\; S \;<\; S_{N} + 0,005.
O conteúdo envolve séries p-com p=4>1 e estimação do resto pela integral (teste integral).

Passo 2

Pelo teste integral para o resto de uma série p-com p>1, vale
R_{N} \;=\; S - S_{N} \;=\;\sum_{n=N+1}^{\infty}\frac{1}{n^{4}} \;\le\;\int_{N}^{\infty}\frac{1}{x^{4}}\,dx.
Calculamos a integral:
\int_{N}^{\infty}\frac{1}{x^{4}}\,dx =\Bigl[-\frac{1}{3x^{3}}\Bigr]_{N}^{\infty} =\frac{1}{3N^{3}}.
Logo
R_{N} \le \frac{1}{3N^{3}}.

Passo 3

Queremos \;R_{N}<0,005, então basta exigir
\frac{1}{3N^{3}}<0,005.
Isto é equivalente a
N^{3} > \frac{1}{3\cdot0,005}=\frac{1}{0,015}\approx66,67,
logo
N>\sqrt[3]{66{,}67}\approx4{,}04.
Como N é inteiro, o menor valor que satisfaz é N=5.

Resposta

N=5 garante
S_{5}\le S < S_{5}+0,005.

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