Questão 2 (DETRAN/CE - 0,5 ponto): A potência instantânea desenvolvida por um circuito operando em Corrente Alternada apresenta a expressão p(t)=60. (sen 2 \omega t)+80 .(1+\cos 2 \omega t) volt-ampère. Os valores das potências ativa e aparente são, respectivamente:
(A) 80 W e 60 VA ;
(B) 80 W e 100 VA ;
(C) 60 W e 80 VA ;
(D) 60 W e 100 VA ;
(E) 100 W e 80 VA .

Passo 1

O enunciado dá a potência instantânea
p(t)=60\cdot\sin(2\omega t)+80\cdot(1+\cos 2\omega t)\\ \text{VA}.
O que é pedido:
  • a potência ativa (potência média, em W);
  • a potência aparente (em VA).
Informações relevantes dadas:
  • A expressão completa de p(t) está acima; posso reescrevê‑la para facilitar a leitura como
p(t)=80 + 80\cos(2\omega t) + 60\sin(2\omega t).

Passo 2

Entendendo o que é potência ativa: para sinais senoidais em regime permanente, a potência ativa P é a média temporal de p(t) ao longo de um período. Matematicamente,
P=\frac{1}{T}\int_{0}^{T} p(t)\,dt,
onde T é o período. Propriedade útil: a média de \cos(2\omega t) e de \sin(2\omega t) sobre um período é zero. Portanto, ao calcular a média de p(t), apenas o termo constante contribui.

Passo 3

Calcular explicitamente a potência ativa usando a observação anterior. Como \cos(2\omega t) e \sin(2\omega t) têm média zero,
P=\text{média de }p(t)=80\\ \text{W}.é
Explicação didática curta: o termo 80 é constante no tempo, então sua média é 80. Os outros termos oscilam igualmente positivos e negativos ao longo do período, anulando‑se em média.

Passo 4

Agora vamos obter a potência aparente S. Para cargas puramente senoidais, há uma relação direta entre os termos da potência instantânea e as potências ativa e reativa. Mostro a dedução curta (útil para a prova):
Se v(t)=V_m\cos\omega t e i(t)=I_m\cos(\omega t-\varphi), então
p(t)=v(t)i(t)=\frac{V_m I_m}{2}\cos\varphi + \frac{V_m I_m}{2}\cos\varphi\cos(2\omega t)+\frac{V_m I_m}{2}\sin\varphi\sin(2\omega t).
Definindo P=\dfrac{V_m I_m}{2}\cos\varphi (potência ativa) e Q=\dfrac{V_m I_m}{2}\sin\varphi (potência reativa), obtém‑se a forma geral
p(t)=P + P\cos(2\omega t) + Q\sin(2\omega t).
Portanto, na expressão de p(t) o coeficiente do termo \cos(2\omega t) é igual a P e o coeficiente do termo \sin(2\omega t) é igual a Q.

Passo 5

Comparando a forma geral com a expressão dada (pegando os coeficientes da expressão reescrita no Passo 1):
p(t)=80 + 80\cos(2\omega t) + 60\sin(2\omega t),
temos
P=80\\ \text{W},\qquad Q=60\\ \text{var}.
(Confirmando: o termo constante deu P=80, como já calculado.)

Passo 6

A potência aparente é definida por
S=\sqrt{P^{2}+Q^{2}}.
Substituindo P=80 e Q=60,
S=\sqrt{80^{2}+60^{2}}=\sqrt{6400+3600}=\sqrt{10000}=100\\ \text{VA}.

Resposta

(B) 80 W e 100 VA

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