Questão 1) O elemento estrutural W250 x 45 é feito de aço ferramenta L2 e usado como uma coluna de 5,3 \mathrm{~m} de comprimento. Se considerarmos uma extremidade esta engastada e a outra livre e que ela é submetida a uma carga axial de 100 kN , determine o fator de segurança em relação a flambagem. (2,0 pontos)

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Seção: W250 × 45 (perfil W, massa linear 45\\ \mathrm{kg/m}).
  • Material: aço ferramenta L2 (usar E típico do aço: E=210\\ \mathrm{GPa}).
  • Comprimento da coluna: L=5,3\\ \mathrm{m}.
  • Condição de contorno: uma extremidade engastada e a outra livre (ou seja, caso “engastada–livre”).
  • Carga axial aplicada: P_{aplicada}=100\\ \mathrm{kN}.
  • Pedido: determinar o fator de segurança em relação à flambagem (ou seja, \text{FS}=\dfrac{P_{cr}}{P_{aplicada}}, onde P_{cr} é a carga crítica de flambagem).

Passo 2

Qual fórmula vamos usar e por quê (aula curta sobre flambagem de Euler):
  • Para colunas esbeltas sob carregamento axial sem imperfeições significativas e comportamento elástico, usa-se a fórmula de Euler para carga crítica:
P_{cr}=\dfrac{\pi^{2} E I}{(K L)^{2}}.
  • Aqui:
    • E é o módulo de elasticidade do material (para aços E\approx210\\ \mathrm{GPa}).
    • I é o momento de inércia da seção transversal em relação ao eixo de flambagem.
    • L é o comprimento da coluna.
    • K é o fator de comprimento eficaz que depende das condições de apoio. Para uma extremidade engastada e outra livre vale K=2{,}0 (porque essa condição tem o maior comprimento efetivo: a coluna se comporta como uma viga-cantilever relativamente longa).
  • Observação importante: a flambagem ocorrerá ao redor do eixo cuja rigidez é menor (isto é, o eixo com menor raio de giração r). Por isso precisamos do menor raio de giração da seção r_{min}, porque I=A r^{2} e o r menor dá menor I e menor P_{cr}.

Passo 3

Calcular a área A da seção usando a massa linear (dado típico para perfis W: 45\\ \mathrm{kg/m}):
  • Relação massa linear \mu e área: \mu=\rho A, onde \rho é a massa volúmica do aço ( \rho\approx7850\\ \mathrm{kg/m^{3}}).
  • Logo,
A=\dfrac{\mu}{\rho}=\dfrac{45\\ \mathrm{kg/m}}{7850\\ \mathrm{kg/m^{3}}}.
  • Calculando:
A=\dfrac{45}{7850}\\ \mathrm{m^{2}}\approx 0{,}005732\\ \mathrm{m^{2}}.
(ou seja, A\approx57{,}32\\ \mathrm{cm^{2}}). Isto nos dá a área da seção usada abaixo.

Passo 4

Precisamos do raio de giração mínimo r_{min} da seção W250×45 (explicação do que é r e como obtê-lo):
  • Definição: o raio de giração relativo a um eixo é r=\sqrt{\dfrac{I}{A}}. É uma medida de quão “compacta” a seção é em torno daquele eixo; quanto menor r, mais susceptível à flambagem nesse eixo.
  • Para perfis comerciais (W250×45) os valores de r são tabelados. Peguei o valor típico de tabela para este perfil (tabelas comerciais de perfis W): o menor raio de giração (no eixo fraco) vale aproximadamente
r_{min}=2{,}62\\ \mathrm{cm}=0{,}0262\\ \mathrm{m}.
(Comentário: o valor da área obtido pelo cálculo da massa linear confirma a ordem de grandeza correta do perfil; o r_{min} veio da tabela de perfil W250×45.)

Passo 5

Calcular a carga crítica P_{cr} usando Euler e os valores conhecidos:
  • Primeiro calcular I=A\,r_{min}^{2}. Mas, em vez de calcular I separadamente, podemos aplicar diretamente a forma P_{cr}=\dfrac{\pi^{2} E A r^{2}}{(K L)^{2}}.
  • Valores a usar:
    • E=210\\ \mathrm{GPa}=210\times10^{9}\\ \mathrm{Pa}.
    • A=0{,}005732\\ \mathrm{m^{2}}.
    • r_{min}=0{,}0262\\ \mathrm{m}.
    • K=2{,}0.
    • L=5{,}3\\ \mathrm{m}.
  • Calculemos passo a passo:
(KL)^{2}=(2{,}0\times5{,}3)^{2}=(10{,}6)^{2}=112{,}36\\ \mathrm{m^{2}}.
r_{min}^{2}=(0{,}0262)^{2}=0{,}00068644\\ \mathrm{m^{2}}.
E A r_{min}^{2}=210\times10^{9}\times0{,}005732\times0{,}00068644 \approx8{,}267\times10^{5}\\ (\text{unidades } \mathrm{N}).
P_{cr}=\dfrac{\pi^{2}\,E A r_{min}^{2}}{(KL)^{2}} =\dfrac{9{,}8696\times8{,}267\times10^{5}}{112{,}36} \approx72{,}6\times10^{3}\\ \mathrm{N}=72{,}6\\ \mathrm{kN}.

Passo 6

Calcular o fator de segurança em relação à flambagem e interpretar:
  • Definição:
\text{FS}=\dfrac{P_{cr}}{P_{aplicada}}.
  • Substituindo:
\text{FS}=\dfrac{72{,}6\\ \mathrm{kN}}{100\\ \mathrm{kN}}=0{,}726\approx0{,}73.
  • Interpretação: \text{FS}<1 significa que, pela fórmula de Euler e pelos valores tabulados do perfil, a coluna iria flambear com a carga aplicada de 100\\ \mathrm{kN} na condição engastada–livre. Ou seja, o elemento não é seguro contra flambagem nessa configuração; seria necessário reduzir a carga, reduzir o comprimento efetivo (por exemplo, apoiando/engastando a outra extremidade), ou usar seção mais robusta.

Resposta

\text{Fator de segurança (em flambagem)}=0,73ç

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