Questão : Encontre
diferenciando implicitamente.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar
diferenciando implicitamente a equação dada.
Informações fornecidas:
Informações fornecidas:
Pergunta: calcular
em termos de
e
.
Passo 2
Ideia básica (sem resolver ainda): vamos derivar ambos os lados da igualdade em relação a
. Aqui
é uma função de
(ou seja,
), então sempre que derivarmos uma expressão que contém
usaremos a regra da cadeia: ao derivar
aparece
, que vou chamar de
para deixar as contas mais claras. Não vou resolver nada neste passo, só expliquei a ideia.
Passo 3
Regras que vamos usar (explicadas de forma direta):
No nosso caso, sempre que aparecer
usaremos
. Ex.:
.
Passo 4
Aplicando a derivada em cada termo da equação. Derivamos ambos os lados em relação a
:
Passo 5
Derivando termo a termo:
-
. (potência: ) - Para
usamos a regra do produto com e . Então
- Para
usamos que é constante e a regra da cadeia:
- E
porque é constante.
Passo 6
Agora juntamos tudo:
Agrupando termos com
de um lado e os demais do outro:
Passo 7
Fatoramos
no lado esquerdo:
Agora isolamos
dividindo por
(desde que
):
Passo 8
Podemos reescrever a resposta de forma um pouco mais compacta, por exemplo tirando um sinal negativo no numerador:
Também é bom notar que a derivada não existe quando
, porque aí dividiríamos por zero.