1^{a} Questão : Encontre \frac{d y}{d x} diferenciando implicitamente.
x^{3}+x^{2} y+4 y^{2}=7

Passo 1

O enunciado pede para encontrar \frac{d y}{d x} diferenciando implicitamente a equação dada.
Informações fornecidas:
x^{3}+x^{2}y+4y^{2}=7
Pergunta: calcular \dfrac{dy}{dx} em termos de x e y.

Passo 2

Ideia básica (sem resolver ainda): vamos derivar ambos os lados da igualdade em relação a x. Aqui y é uma função de x (ou seja, y=y(x)), então sempre que derivarmos uma expressão que contém y usaremos a regra da cadeia: ao derivar y aparece \dfrac{dy}{dx}, que vou chamar de y' para deixar as contas mais claras. Não vou resolver nada neste passo, só expliquei a ideia.

Passo 3

Regras que vamos usar (explicadas de forma direta):
\frac{d}{dx}(u+v)=u'+v'
\frac{d}{dx}(u\cdot v)=u'v+uv'\quad\text{(regra do produto)}
\frac{d}{dx}\big(f(g(x))\big)=f'(g(x))\cdot g'(x)\quad\text{(regra da cadeia)}
No nosso caso, sempre que aparecer y usaremos y'=\dfrac{dy}{dx}. Ex.: \dfrac{d}{dx}(y^2)=2y\cdot y'.

Passo 4

Aplicando a derivada em cada termo da equação. Derivamos ambos os lados em relação a x:
\frac{d}{dx}\big(x^{3}\big)+\frac{d}{dx}\big(x^{2}y\big)+\frac{d}{dx}\big(4y^{2}\big)=\frac{d}{dx}(7)

Passo 5

Derivando termo a termo:
  • \dfrac{d}{dx}\big(x^{3}\big)=3x^{2}. (potência: \dfrac{d}{dx}x^{n}=n x^{n-1})
  • Para \dfrac{d}{dx}\big(x^{2}y\big) usamos a regra do produto com u=x^{2} e v=y. Então
\frac{d}{dx}\big(x^{2}y\big)= (2x)\,y + x^{2}\,y' = 2xy + x^{2}y'.
  • Para \dfrac{d}{dx}\big(4y^{2}\big) usamos que 4 é constante e a regra da cadeia:
\frac{d}{dx}\big(4y^{2}\big)=4\cdot\frac{d}{dx}\big(y^{2}\big)=4\cdot(2y\,y')=8y\,y'.
  • E \dfrac{d}{dx}(7)=0 porque é constante.

Passo 6

Agora juntamos tudo:
3x^{2} + \big(2xy + x^{2}y'\big) + 8y\,y' = 0.
Agrupando termos com y' de um lado e os demais do outro:
x^{2}y' + 8y\,y' = -3x^{2} - 2xy.

Passo 7

Fatoramos y' no lado esquerdo:
y'\,(x^{2}+8y) = -3x^{2} - 2xy.
Agora isolamos y' dividindo por (x^{2}+8y) (desde que x^{2}+8y\neq 0):
y' = \frac{-3x^{2}-2xy}{x^{2}+8y}.

Passo 8

Podemos reescrever a resposta de forma um pouco mais compacta, por exemplo tirando um sinal negativo no numerador:
y' = -\frac{3x^{2}+2xy}{x^{2}+8y}.
Também é bom notar que a derivada não existe quando x^{2}+8y=0, porque aí dividiríamos por zero.

Resposta

\displaystyle \frac{dy}{dx}=-\frac{3x^{2}+2xy}{x^{2}+8y}

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