Questão : Encontre
diferenciando implicitamente.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar
diferenciando implicitamente a equação dada. As informações fornecidas são:
Temos que
é uma função de
(ou seja,
) e devemos derivar a igualdade em relação a
para obter
.
Passo 2
Vou revisar as regras de derivação que vamos usar, explicando com calma.
Regra da cadeia: se
, então
Aqui
é a função exterior e
a interior;
é a derivada de
em relação ao seu argumento, e
é a derivada de
em relação a
.
Exemplo simples: para temos
e
, logo
Exemplo simples: para
Regra do produto: se
, então
Exemplo: para
(lembrando que
depende de
), trate
e
. Temos
e
, portanto
Note que
.
Também precisamos da derivada da função seno:
.
Passo 3
Agora derivamos ambos os lados da equação
em relação a
.
Derivada do lado esquerdo:
Derivada do lado direito aplicando a regra da cadeia com
e
:
Usando a regra do produto para
(ver Passo 2) obtemos
Portanto a derivada do lado direito é
Passo 4
Igualando as derivadas dos dois lados temos
Agora isolamos
. Primeiro expandimos o produto ou apenas isolamos o termo com
:
Subtraindo o primeiro termo do lado direito:
Finalmente dividimos por
(assumindo que esse denominador não seja zero) para obter
:
Passo 5
Comentário prático rápido: é importante notar que o denominador
não pode ser zero; se ele for zero, a expressão acima não vale (nesse caso seria preciso analisar a equação original e a possibilidade de derivada existir naquele ponto). Também observe que
não satisfaz a equação original porque para
teríamos
, contradição, então
não ocorre aqui — bom sinal para evitar divisão por zero neste exemplo específico.