1^{a} Questão : Encontre \frac{d y}{d x} diferenciando implicitamente.
1+x=\operatorname{sen}\left(x y^{2}\right)

Passo 1

O enunciado pede para encontrar \dfrac{dy}{dx} diferenciando implicitamente a equação dada. As informações fornecidas são:
1+x=\sin\bigl(xy^{2}\bigr).
Temos que y é uma função de x (ou seja, y=y(x)) e devemos derivar a igualdade em relação a x para obter \dfrac{dy}{dx}.

Passo 2

Vou revisar as regras de derivação que vamos usar, explicando com calma.
Regra da cadeia: se \displaystyle F(x)=f(g(x)), então
F'(x)=f'\bigl(g(x)\bigr)\cdot g'(x).
Aqui f é a função exterior e g a interior; f' é a derivada de f em relação ao seu argumento, e g' é a derivada de g em relação a x.
Exemplo simples: para \sin(x^{2}) temos f(t)=\sin t e g(x)=x^{2}, logo
\frac{d}{dx}\sin(x^{2})=\cos(x^{2})\cdot 2x.
Regra do produto: se \displaystyle h(x)=u(x)\,v(x), então
h'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x).
Exemplo: para x\cdot y^{2}(x) (lembrando que y depende de x), trate u(x)=x e v(x)=y^{2}(x). Temos u'(x)=1 e v'(x)=2y\,y', portanto
\frac{d}{dx}\bigl(xy^{2}\bigr)=1\cdot y^{2}+x\cdot 2y\,y' = y^{2}+2xy\,y'.
Note que y'=\dfrac{dy}{dx}.
Também precisamos da derivada da função seno: \dfrac{d}{dt}\sin t=\cos t.

Passo 3

Agora derivamos ambos os lados da equação \;1+x=\sin(xy^{2})\; em relação a x.
Derivada do lado esquerdo:
\frac{d}{dx}\bigl(1+x\bigr)=0+1=1.
Derivada do lado direito aplicando a regra da cadeia com f(t)=\sin t e t=x y^{2}:
\frac{d}{dx}\sin\bigl(xy^{2}\bigr)=\cos\bigl(xy^{2}\bigr)\cdot\frac{d}{dx}\bigl(xy^{2}\bigr).
Usando a regra do produto para \dfrac{d}{dx}(xy^{2}) (ver Passo 2) obtemos
\frac{d}{dx}\bigl(xy^{2}\bigr)=y^{2}+2xy\,y'.
Portanto a derivada do lado direito é
\cos\bigl(xy^{2}\bigr)\bigl(y^{2}+2xy\,y'\bigr).

Passo 4

Igualando as derivadas dos dois lados temos
1=\cos\bigl(xy^{2}\bigr)\bigl(y^{2}+2xy\,y'\bigr).
Agora isolamos y'. Primeiro expandimos o produto ou apenas isolamos o termo com y':
1=\cos\bigl(xy^{2}\bigr)\,y^{2}+2x y\cos\bigl(xy^{2}\bigr)\,y'.
Subtraindo o primeiro termo do lado direito:
1-\cos\bigl(xy^{2}\bigr)\,y^{2}=2x y\cos\bigl(xy^{2}\bigr)\,y'.
Finalmente dividimos por 2x y\cos\bigl(xy^{2}\bigr) (assumindo que esse denominador não seja zero) para obter y':
y'=\frac{1-\cos\bigl(xy^{2}\bigr)\,y^{2}}{2x y\cos\bigl(xy^{2}\bigr)}.

Passo 5

Comentário prático rápido: é importante notar que o denominador 2x y\cos\bigl(xy^{2}\bigr) não pode ser zero; se ele for zero, a expressão acima não vale (nesse caso seria preciso analisar a equação original e a possibilidade de derivada existir naquele ponto). Também observe que x=0 não satisfaz a equação original porque para x=0 teríamos 1=\sin(0)=0, contradição, então x=0 não ocorre aqui — bom sinal para evitar divisão por zero neste exemplo específico.

Resposta

\frac{dy}{dx}=\frac{1-y^{2}\cos\bigl(xy^{2}\bigr)}{2x y\cos\bigl(xy^{2}\bigr)}

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