Questão 1 Encontre os polinômios de Taylor das seguintes funções:
  • f(x)=\left(1-x^{2}\right)^{-1 / 2} (até segunda ordem).
  • g(x)=\ln (1-x).
  • h(x)=x\left(1+x^{2}\right)^{-3 / 2} (até terceira ordem).
  • \operatorname{cosh} (x).
  • \operatorname{sec} (x).

Passo 1

O enunciado pede que sejam encontrados os polinômios de Taylor (centro em 0, isto é, polinômios de Maclaurin) para as seguintes funções:
  • f(x)=\left(1-x^{2}\right)^{-1/2}, pedido explícito: até segunda ordem.
  • g(x)=\ln(1-x), pedido sem ordem explícita (será dada a série de potência e os primeiros termos).
  • h(x)=x\left(1+x^{2}\right)^{-3/2}, pedido explícito: até terceira ordem.
  • \operatorname{cosh}(x), pedido sem ordem explícita (será dada a série de potência e os primeiros termos).
  • \operatorname{sec}(x), pedido sem ordem explícita (será dada a série de potência e os primeiros termos).
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • Todas as expansões solicitadas são em torno de x=0 (Maclaurin).
  • Para alguns itens foi pedida ordem específica (ver acima); para os demais vou fornecer a série de potência geral (quando simples) e os primeiros termos suficientes para uso em prova.

Passo 2

Lembrete útil (fórmula que vamos usar): o polinômio de Taylor de ordem n de uma função f em torno de 0 é dado por
T_n(x)=\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(0)}{k!}x^{k},
onde f^{(k)}(0) é a k-ésima derivada de f avaliada em 0.
Outra ferramenta prática: a expansão binomial generalizada para (1+u)^{\alpha} (válida para |u|<1) é
(1+u)^{\alpha}=1+\alpha u+\frac{\alpha(\alpha-1)}{2!}u^{2}+\frac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)}{3!}u^{3}+\cdots.
Essa fórmula é muito útil quando temos potências não inteiras como \alpha=-\tfrac12 ou \alpha=-\tfrac32.

Passo 3

Vamos aplicar a fórmula da expansão binomial com \alpha=-\tfrac12 e tomar u=-x^{2} (pois 1-x^{2}=1+u).
Aplique a expansão:
(1+u)^{\alpha}=1+\alpha u+\frac{\alpha(\alpha-1)}{2}u^{2}+\cdots.
Substituindo \alpha=-\tfrac12 e u=-x^{2}:
  • Termo constante: 1.
  • Termo em x^{2}: \alpha u = \left(-\tfrac12\right)\cdot(-x^{2})= \tfrac12 x^{2}.
  • O próximo termo envolve u^{2}=x^{4}, que é ordem x^{4}; como o enunciado pediu até segunda ordem, paramos em x^{2}.
Portanto, o polinômio de ordem 2 é
T_{2}^{(f)}(x)=1+\tfrac{1}{2}x^{2}.

Passo 4

Uma maneira simples de obter a série é observar que a derivada é
g'(x)=\frac{d}{dx}\ln(1-x)=-\frac{1}{1-x}.
A série geométrica para \dfrac{1}{1-x} (válida para |x|<1) é
\frac{1}{1-x}=\sum_{n=0}^{\infty}x^{n}.
Multiplicando por -1 e integrando termo a termo (constante de integração escolhida para que g(0)=0), obtemos
\ln(1-x)=-\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{n}}{n}.
Escrevendo os primeiros termos (úteis em provas):
\ln(1-x)=-x-\tfrac{1}{2}x^{2}-\tfrac{1}{3}x^{3}-\tfrac{1}{4}x^{4}-\cdots,\qquad |x|<1.

Passo 5

Aqui é prático usar a expansão binomial para (1+u)^{-3/2} com u=x^{2}. A fórmula com \alpha=-\tfrac32
(1+u)^{-3/2}=1+\left(-\tfrac32\right)u+\frac{\left(-\tfrac32\right)\left(-\tfrac52\right)}{2}u^{2}+\cdots.
Calculemos os primeiros termos:
  • Termo constante: 1.
  • Coeficiente de u: -\tfrac32.
  • O termo em u^{2} tem coeficiente \dfrac{(-3/2)(-5/2)}{2}=\dfrac{15}{8}; esse termo corresponde a u^{2}=x^{4}.
Agora multiplicamos por x:
h(x)=x\,(1+x^{2})^{-3/2}=x +\left(-\tfrac32\right)x^{3} + \frac{15}{8}x^{5}+\cdots.
Como o enunciado pede até terceira ordem (isto é, até x^{3}), obtemos
T_{3}^{(h)}(x)=x-\tfrac{3}{2}x^{3}.

Passo 6

Use a definição \operatorname{cosh}(x)=\dfrac{e^{x}+e^{-x}}{2} e a série de e^{x}=\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{x^{n}}{n!}. Somando e^{x} e e^{-x} os termos ímpares cancelam, sobrando apenas potências pares:
\operatorname{cosh}(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{2n}}{(2n)!}.
Escrevendo os primeiros termos:
\operatorname{cosh}(x)=1+\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{4}}{4!}+\frac{x^{6}}{6!}+\cdots.

Passo 7

Queremos a série de \operatorname{sec}(x)=\dfrac{1}{\cos(x)} em torno de 0. Sabemos que \cos(x) tem expansão
\cos(x)=1-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{4}}{24}-\frac{x^{6}}{720}+\cdots.
Procuramos \operatorname{sec}(x)=a_{0}+a_{2}x^{2}+a_{4}x^{4}+a_{6}x^{6}+\cdots (só termos pares, porque \operatorname{sec} é função par). Impomos
\operatorname{sec}(x)\cos(x)=1.
Multiplicando as séries e igualando coeficientes de potências de x a zero (exceto o termo constante que deve ser 1), resolvemos os coeficientes:
  • Ordem x^{0}: a_{0}=1.
  • Ordem x^{2}: a_{2}-\tfrac{1}{2}a_{0}=0 a_{2}=\tfrac{1}{2}.
  • Ordem x^{4}: a_{4}-\tfrac{1}{2}a_{2}+\tfrac{1}{24}a_{0}=0 a_{4}=\tfrac{1}{2}a_{2}-\tfrac{1}{24}=\tfrac{1}{4}-\tfrac{1}{24}=\tfrac{5}{24}.
  • Ordem x^{6}: a_{6}-\tfrac{1}{2}a_{4}+\tfrac{1}{24}a_{2}-\tfrac{1}{720}a_{0}=0. Substituindo a_{2}=\tfrac12, a_{4}=\tfrac{5}{24} obtemos a_{6}=\tfrac{61}{720}.
Assim os primeiros termos da série são
\operatorname{sec}(x)=1+\tfrac{1}{2}x^{2}+\tfrac{5}{24}x^{4}+\tfrac{61}{720}x^{6}+\cdots,
válida para |x|<\tfrac{\pi}{2} (raio de convergência até o primeiro polo de \operatorname{sec}, que é \pm \tfrac{\pi}{2}).

Resposta

f(x)=1+\dfrac{1}{2}x^{2}
g(x)=-x-\dfrac{1}{2}x^{2}-\dfrac{1}{3}x^{3}-\dfrac{1}{4}x^{4}-\cdots=-\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{x^{n}}{n} (para |x|<1)
h(x)=x-\dfrac{3}{2}x^{3}
\operatorname{cosh}(x)=1+\dfrac{x^{2}}{2!}+\dfrac{x^{4}}{4!}+\dfrac{x^{6}}{6!}+\cdots=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{x^{2n}}{(2n)!}
\operatorname{sec}(x)=1+\dfrac{1}{2}x^{2}+\dfrac{5}{24}x^{4}+\dfrac{61}{720}x^{6}+\cdots

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