Questão 1 Encontre os polinômios de Taylor das seguintes funções:
-
(até segunda ordem).
-
.
-
(até terceira ordem).
-
.
-
.
Passo 1
O enunciado pede que sejam encontrados os polinômios de Taylor (centro em
, isto é, polinômios de Maclaurin) para as seguintes funções:
-
, pedido explícito: até segunda ordem. -
, pedido sem ordem explícita (será dada a série de potência e os primeiros termos). -
, pedido explícito: até terceira ordem. -
, pedido sem ordem explícita (será dada a série de potência e os primeiros termos). -
, pedido sem ordem explícita (será dada a série de potência e os primeiros termos).
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- Todas as expansões solicitadas são em torno de
(Maclaurin). - Para alguns itens foi pedida ordem específica (ver acima); para os demais vou fornecer a série de potência geral (quando simples) e os primeiros termos suficientes para uso em prova.
Passo 2
Lembrete útil (fórmula que vamos usar): o polinômio de Taylor de ordem
de uma função
em torno de
é dado por
onde
é a
-ésima derivada de
avaliada em
.
Outra ferramenta prática: a expansão binomial generalizada para (válida para
) é
Outra ferramenta prática: a expansão binomial generalizada para
Essa fórmula é muito útil quando temos potências não inteiras como
ou
.
Passo 3
Vamos aplicar a fórmula da expansão binomial com
e tomar
(pois
).
Aplique a expansão:
Aplique a expansão:
Substituindo
e
:
- Termo constante:
. - Termo em
: - O próximo termo envolve
, que é ordem ; como o enunciado pediu até segunda ordem, paramos em .
Portanto, o polinômio de ordem 2 é
Passo 4
Uma maneira simples de obter a série é observar que a derivada é
A série geométrica para
(válida para
) é
Multiplicando por
e integrando termo a termo (constante de integração escolhida para que
), obtemos
Escrevendo os primeiros termos (úteis em provas):
Passo 5
Aqui é prático usar a expansão binomial para
com
. A fórmula com
dá
Calculemos os primeiros termos:
- Termo constante:
. - Coeficiente de
: . - O termo em
tem coeficiente ; esse termo corresponde a .
Agora multiplicamos por
:
Como o enunciado pede até terceira ordem (isto é, até
), obtemos
Passo 6
Use a definição
e a série de
. Somando
e
os termos ímpares cancelam, sobrando apenas potências pares:
Escrevendo os primeiros termos:
Passo 7
Queremos a série de
em torno de
. Sabemos que
tem expansão
Procuramos
(só termos pares, porque
é função par). Impomos
Multiplicando as séries e igualando coeficientes de potências de
a zero (exceto o termo constante que deve ser
), resolvemos os coeficientes:
- Ordem
: . - Ordem
: ⇒ . - Ordem
: ⇒ - Ordem
: . Substituindo , obtemos
Assim os primeiros termos da série são
válida para
(raio de convergência até o primeiro polo de
, que é
).