Seja
uma função limitada. Prove que a soma inferior de
em uma partição
de
coincide com alguma soma superior de
em uma partição
de
se, e somente se,
é constante.
Passo 1
O enunciado pede para provar a equivalência seguinte: “Existe uma partição
de
tal que a soma inferior de
em
coincide com a soma superior de
em alguma partição
de
se, e somente se,
é constante.”
Informações dadas e o que se pede:
-
é limitada (portanto os ínfimos e supremos em subintervalos são números finitos). - Para uma partição
com definimos, para cada , -
, -
.
-
- A soma inferior em
é . - A soma superior em
é . - Objetivo: mostrar as duas implicações:
- Se
é constante então existe (na verdade para qualquer) partição em que uma soma inferior coincide com uma soma superior. - Se existem
tais que então é constante em .
- Se
Passo 2
Definições úteis e uma propriedade básica sobre refinamentos (vai ser usada no passo da contrapartida):
- Se
é um refinamento de (isto é, ), então para cada subintervalo de o refinamento o corta em subintervalos menores. Nessas condições vale a desigualdade padrão: Explicação intuitiva e rápida: ao refinar um intervalo em pedaços menores, o ínfimo em cada pedaço é maior ou igual ao ínfimo no intervalo inteiro, logo a soma inferior aumenta; de modo análogo, o supremo em cada pedaço é menor ou igual ao supremo no intervalo inteiro, logo a soma superior diminui.
Passo 3
Prova da direção “se
é constante então existe tal coincidência”.
- Seja
para todo . - Para qualquer partição
temos, em cada subintervalo , e . Assim - Em particular, escolhendo qualquer
e qualquer obtemos . Logo a condição do enunciado é satisfeita. - Comentário amigo: ou seja, para função constante qualquer soma inferior vale o mesmo que qualquer soma superior — combinção perfeita.
Passo 4
Prova da direção difícil: “se existem
com
então
é constante”.
- Suponha que existam partições
e tais que, chamando e , tem-se . Queremos mostrar que é constante em . - Considere a partição
que é a união ordenada dos pontos de e (ou seja, é um refinamento comum de e ). Pela propriedade de refinamento do Passo 2 temos Substituindo obtemos Portanto . - Agora escrevemos explicitamente as somas em
. Se com , definimos para cada intervalo os números e os comprimentos .
Então - Da igualdade
segue Observe que para cada vale (pois supremo é maior ou igual ao ínfimo) e . Então temos soma de termos não-negativos igual a zero. - Conclusão imediata: cada termo da soma é zero, isto é, para todo
, Logo para todo . - O que significa
em ? Significa que . Se supremo e ínfimo coincidem, chamemos esse valor de . Então para todo tem-se e , logo para todo naquele subintervalo. Em outras palavras, é constante em cada subintervalo do refinamento . - Finalmente, como os subintervalos
cobrem todo e eles são fechados e consecutivos, precisamos checar que os valores constantes coincidem entre intervalos adjacentes. Seja e . O ponto comum pertence tanto a quanto a . Portanto Assim e, por indução ao longo dos intervalos, todos os são iguais a um mesmo número . Logo para todo . - Conclusão do passo: a existência de partições
com implica que é constante em .
Passo 5
Resumo e observação final (estímulo amigo):
- Já mostramos as duas implicações necessárias:
- Se
é constante então quaisquer soma inferior e soma superior coincidem (por exemplo ). - Se existe
com então, passando ao refinamento comum e usando a monotonicidade das somas, concluímos que em cada subintervalo do refinamento o supremo coincide com o ínfimo, o que força a ser constante em todo .
- Se
- Então a equivalência pedida está provada.