Seja f:[a, b] \rightarrow \mathbb{R} uma função limitada. Prove que a soma inferior de f em uma partição P_{1} de [a, b] coincide com alguma soma superior de f em uma partição P_{2} de [a, b] se, e somente se, f é constante.

Passo 1

O enunciado pede para provar a equivalência seguinte: “Existe uma partição P_{1} de [a,b] tal que a soma inferior de f em P_{1} coincide com a soma superior de f em alguma partição P_{2} de [a,b] se, e somente se, f é constante.”
Informações dadas e o que se pede:
  • f:[a,b]\to\mathbb{R} é limitada (portanto os ínfimos e supremos em subintervalos são números finitos).
  • Para uma partição P=\{x_0,x_1,\dots,x_n\} com a=x_0<x_1<\cdots<x_n=b definimos, para cada i,
    • m_i=\inf\{f(x):x\in[x_{i-1},x_i]\},
    • M_i=\sup\{f(x):x\in[x_{i-1},x_i]\}.
  • A soma inferior em P é L(f,P)=\sum_{i=1}^n m_i(x_i-x_{i-1}).
  • A soma superior em P é U(f,P)=\sum_{i=1}^n M_i(x_i-x_{i-1}).
  • Objetivo: mostrar as duas implicações:
    1. Se f é constante então existe (na verdade para qualquer) partição em que uma soma inferior coincide com uma soma superior.
    2. Se existem P_{1},P_{2} tais que L(f,P_{1})=U(f,P_{2}) então f é constante em [a,b].

Passo 2

Definições úteis e uma propriedade básica sobre refinamentos (vai ser usada no passo da contrapartida):
  • Se Q é um refinamento de P (isto é, P\subseteq Q), então para cada subintervalo de P o refinamento o corta em subintervalos menores. Nessas condições vale a desigualdade padrão: L(f,P)\le L(f,Q)\le U(f,Q)\le U(f,P).Explicação intuitiva e rápida: ao refinar um intervalo [x_{i-1},x_i] em pedaços menores, o ínfimo em cada pedaço é maior ou igual ao ínfimo no intervalo inteiro, logo a soma inferior aumenta; de modo análogo, o supremo em cada pedaço é menor ou igual ao supremo no intervalo inteiro, logo a soma superior diminui.

Passo 3

Prova da direção “se f é constante então existe tal coincidência”.
  • Seja f(x)=c para todo x\in[a,b].
  • Para qualquer partição P=\{x_0,\dots,x_n\} temos, em cada subintervalo [x_{i-1},x_i], \inf f=c e \sup f=c. Assim L(f,P)=\sum_{i=1}^n c(x_i-x_{i-1})=c(b-a)=U(f,P).
  • Em particular, escolhendo qualquer P_{1} e qualquer P_{2} obtemos L(f,P_{1})=U(f,P_{2})=c(b-a). Logo a condição do enunciado é satisfeita.
  • Comentário amigo: ou seja, para função constante qualquer soma inferior vale o mesmo que qualquer soma superior — combinção perfeita.

Passo 4

Prova da direção difícil: “se existem P_{1},P_{2} com L(f,P_{1})=U(f,P_{2}) então f é constante”.
  • Suponha que existam partições P_{1} e P_{2} tais que, chamando S=L(f,P_{1}) e T=U(f,P_{2}), tem-se S=T. Queremos mostrar que f é constante em [a,b].
  • Considere a partição P que é a união ordenada dos pontos de P_{1} e P_{2} (ou seja, P é um refinamento comum de P_{1} e P_{2}). Pela propriedade de refinamento do Passo 2 temos L(f,P_{1})\le L(f,P)\le U(f,P)\le U(f,P_{2}).Substituindo L(f,P_{1})=U(f,P_{2}) obtemos S \le L(f,P)\le U(f,P)\le S.Portanto L(f,P)=U(f,P)=S.
  • Agora escrevemos explicitamente as somas em P. Se P=\{t_0,\dots,t_m\} com t_0=a<t_1<\cdots<t_m=b, definimos para cada intervalo [t_{j-1},t_j] os números m_j=\inf\{f(x):x\in[t_{j-1},t_j]\},\qquad M_j=\sup\{f(x):x\in[t_{j-1},t_j]\},e os comprimentos \Delta_j=t_j-t_{j-1}>0.
    Então L(f,P)=\sum_{j=1}^m m_j\Delta_j,\qquad U(f,P)=\sum_{j=1}^m M_j\Delta_j.
  • Da igualdade L(f,P)=U(f,P) segue 0=U(f,P)-L(f,P)=\sum_{j=1}^m (M_j-m_j)\Delta_j.Observe que para cada j vale M_j-m_j\ge 0 (pois supremo é maior ou igual ao ínfimo) e \Delta_j>0. Então temos soma de termos não-negativos igual a zero.
  • Conclusão imediata: cada termo da soma é zero, isto é, para todo j, (M_j-m_j)\Delta_j=0\quad\Rightarrow\quad M_j-m_j=0.Logo M_j=m_j para todo j.
  • O que significa M_j=m_j em [t_{j-1},t_j]? Significa que \sup_{[t_{j-1},t_j]}f=\inf_{[t_{j-1},t_j]}f. Se supremo e ínfimo coincidem, chamemos esse valor de c_j. Então para todo x\in[t_{j-1},t_j] tem-se f(x)\le c_j e f(x)\ge c_j, logo f(x)=c_j para todo x naquele subintervalo. Em outras palavras, f é constante em cada subintervalo [t_{j-1},t_j] do refinamento P.
  • Finalmente, como os subintervalos [t_{j-1},t_j] cobrem todo [a,b] e eles são fechados e consecutivos, precisamos checar que os valores constantes c_j coincidem entre intervalos adjacentes. Seja j e j+1. O ponto comum t_j pertence tanto a [t_{j-1},t_j] quanto a [t_j,t_{j+1}]. Portanto c_j=f(t_j)=c_{j+1}.Assim c_j=c_{j+1} e, por indução ao longo dos intervalos, todos os c_j são iguais a um mesmo número c. Logo f(x)=c para todo x\in[a,b].
  • Conclusão do passo: a existência de partições P_{1},P_{2} com L(f,P_{1})=U(f,P_{2}) implica que f é constante em [a,b].

Passo 5

Resumo e observação final (estímulo amigo):
  • Já mostramos as duas implicações necessárias:
    • Se f é constante então quaisquer soma inferior e soma superior coincidem (por exemplo L(f,P_1)=U(f,P_2)=c(b-a)).
    • Se existe P_1,P_2 com L(f,P_1)=U(f,P_2) então, passando ao refinamento comum e usando a monotonicidade das somas, concluímos que em cada subintervalo do refinamento o supremo coincide com o ínfimo, o que força f a ser constante em todo [a,b].
  • Então a equivalência pedida está provada.

Resposta

\,f é constante.

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