Questão 3. Encontre a série de Taylor centrada em x=0 e determine seu raio de convergência:
  • f(x)=\int_{0}^{x} \arctan \left(t^{2}\right) d t

Passo 1

O enunciado dá a função f definida por
f(x)=\int_{0}^{x} \arctan\bigl(t^{2}\bigr)\,dt
e pede duas coisas:
  • Encontrar a série de Taylor (Maclaurin) centrada em x=0 para f(x).
  • Determinar o raio de convergência dessa série.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • A função integrada é \arctan\bigl(t^{2}\bigr).
  • O intervalo de integração vai de 0 até x (ou seja, é uma primitiva obtida integrando de 0 a x).

Passo 2

Estratégia que vou usar (sem resolver ainda): obter a série de potências de \arctan u em torno de u=0, substituir u=t^{2} para obter a série de \arctan(t^{2}), e então integrar termo a termo de 0 a x para obter a série de f(x). Vou justificar cada passo e explicar as fórmulas usadas.

Passo 3

Lembrete importante e derivação da série de \arctan u.
  • A derivada de \arctan u é
\frac{d}{du}\arctan u=\frac{1}{1+u^{2}}.
  • A soma geométrica dá, para qualquer z com |z|<1,
\frac{1}{1+z}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}z^{n}.
Aqui uso z=u^{2}. Para |u|<1 vale
\frac{1}{1+u^{2}}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}u^{2n}.
  • Integro termo a termo em u (isso é legítimo para |u|<1, pois a série de potências converge uniformemente em qualquer compacto contido em (-1,1)):
\arctan u=\int_{0}^{u}\frac{1}{1+s^{2}}\,ds=\int_{0}^{u}\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}s^{2n}\,ds =\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\int_{0}^{u}s^{2n}\,ds.
  • Calculando a integral de cada termo:
\int_{0}^{u}s^{2n}\,ds=\frac{u^{2n+1}}{2n+1}.
Como \arctan 0=0, a constante de integração é zero. Logo, para |u|<1,
\arctan u = \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{u^{2n+1}}{2n+1}.
Observação: esta série tem raio de convergência 1 no parâmetro u (pelo teste da razão ou porque vem da soma geométrica com z=u^{2}) e converge também em u=1 por convergência alternada (valor \pi/4).

Passo 4

Substituo u=t^{2} na série encontrada para \arctan u. Para |t|<1 obtemos
\arctan\bigl(t^{2}\bigr)=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{(t^{2})^{2n+1}}{2n+1} =\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{t^{4n+2}}{2n+1}.
Explicação do que cada símbolo significa:
  • n é o índice da soma (começando em 0).
  • O expoente 4n+2 aparece porque (t^{2})^{2n+1}=t^{2(2n+1)}=t^{4n+2}.
  • A igualdade é válida para |t|<1.

Passo 5

Agora integro termo a termo de 0 até x para obter f(x). Justificativa: a série para \arctan(t^{2}) converge uniformemente em qualquer intervalo [-a,a] com 0<a<1, então é permitido integrar termo a termo nesse intervalo; assim a expressão resultante é a série de potências de f em torno de 0.
Integro cada termo:
f(x)=\int_{0}^{x}\arctan\bigl(t^{2}\bigr)\,dt =\int_{0}^{x}\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{t^{4n+2}}{2n+1}\,dt =\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{1}{2n+1}\int_{0}^{x}t^{4n+2}\,dt.
Calculo a integral interna:
\int_{0}^{x}t^{4n+2}\,dt=\frac{x^{4n+3}}{4n+3}.
Portanto
f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{x^{4n+3}}{(2n+1)(4n+3)}.

Passo 6

Determinação do raio de convergência.
Razão mais direta e intuitiva:
  • A série original de \arctan u tem raio de convergência 1 em u.
  • Como foi feita a substituição u=t^{2}, a condição |u|<1 fica |t|<1. Logo a série para \arctan(t^{2}) converge para |t|<1, isto é, raio 1 em t.
  • Integrar termo a termo não altera o raio de convergência interior; portanto a série de potências obtida para f(x) também tem raio de convergência 1.
Se for preciso verificar por teste da razão aplicado aos coeficientes da série de f(x), considere o termo geral
a_{n}x^{4n+3}\quad\text{com}\quad a_{n}=(-1)^{n}\frac{1}{(2n+1)(4n+3)}.
Os coeficientes a_{n} têm decaimento polinomial em n e, considerando os expoentes 4n+3, a condição de convergência em potência de x leva novamente a |x|<1. Portanto o raio de convergência é R=1.

Passo 7

Resumo prático para a prova (dica amiga):
  • Para séries envolvendo \arctan é comum derivar usando 1/(1+u^{2}) e usar a soma geométrica; depois faça substituições (aqui u=t^{2}) e integre.
  • Em provas, escreva claramente a série de \arctan u, substitua, integre e explique rapidamente porque a integração termo a termo é permitida (convergência uniforme em compactos dentro do raio). Termine indicando o raio de convergência.

Resposta

f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{x^{4n+3}}{(2n+1)(4n+3)}
\text{Raio de convergência: }R=1ê

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