Questão 3. Encontre a série de Taylor centrada em
e determine seu raio de convergência:
-
Passo 1
O enunciado dá a função
definida por
e pede duas coisas:
- Encontrar a série de Taylor (Maclaurin) centrada em
para . - Determinar o raio de convergência dessa série.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- A função integrada é
. - O intervalo de integração vai de
até (ou seja, é uma primitiva obtida integrando de a ).
Passo 2
Estratégia que vou usar (sem resolver ainda): obter a série de potências de
em torno de
, substituir
para obter a série de
, e então integrar termo a termo de
a
para obter a série de
. Vou justificar cada passo e explicar as fórmulas usadas.
Passo 3
Lembrete importante e derivação da série de
.
- A derivada de
é
- A soma geométrica dá, para qualquer
com ,
Aqui uso
. Para
vale
- Integro termo a termo em
(isso é legítimo para , pois a série de potências converge uniformemente em qualquer compacto contido em ):
- Calculando a integral de cada termo:
Como
, a constante de integração é zero. Logo, para
,
Observação: esta série tem raio de convergência
no parâmetro
(pelo teste da razão ou porque vem da soma geométrica com
) e converge também em
por convergência alternada (valor
).
Passo 4
Substituo
na série encontrada para
. Para
obtemos
Explicação do que cada símbolo significa:
-
é o índice da soma (começando em ). - O expoente
aparece porque . - A igualdade é válida para
.
Passo 5
Agora integro termo a termo de
até
para obter
. Justificativa: a série para
converge uniformemente em qualquer intervalo
com
, então é permitido integrar termo a termo nesse intervalo; assim a expressão resultante é a série de potências de
em torno de
.
Integro cada termo:
Calculo a integral interna:
Portanto
Passo 6
Determinação do raio de convergência.
Razão mais direta e intuitiva:
- A série original de
tem raio de convergência em . - Como foi feita a substituição
, a condição fica . Logo a série para converge para , isto é, raio em . - Integrar termo a termo não altera o raio de convergência interior; portanto a série de potências obtida para
também tem raio de convergência .
Se for preciso verificar por teste da razão aplicado aos coeficientes da série de
, considere o termo geral
Os coeficientes
têm decaimento polinomial em
e, considerando os expoentes
, a condição de convergência em potência de
leva novamente a
. Portanto o raio de convergência é
.
Passo 7
Resumo prático para a prova (dica amiga):
- Para séries envolvendo
é comum derivar usando e usar a soma geométrica; depois faça substituições (aqui ) e integre. - Em provas, escreva claramente a série de
, substitua, integre e explique rapidamente porque a integração termo a termo é permitida (convergência uniforme em compactos dentro do raio). Termine indicando o raio de convergência.