Encontre a solução do problema de valor inicial, usando transformada de Laplace.
y^{\prime \prime}+4 y^{\prime}+2 y=0, y(0)=1, y^{\prime}(0)=0.

Passo 1

O enunciado dá o problema de valor inicial
y''+4y'+2y=0, \qquad y(0)=1,\qquad y'(0)=0.
O que se pede: encontrar a solução y(t) para t\ge 0, usando transformada de Laplace. As condições iniciais são as que aparecem acima.

Passo 2

Definição e propriedades úteis da transformada de Laplace (mini-aula):\n
  • A transformada de Laplace de uma função f(t) (para t\ge 0) é definida por
\mathcal{L}\{f\}(s)=\int_{0}^{\infty}e^{-st}f(t)\,dt.
Aqui s é a variável complexa de domínio da transformada e \mathcal{L}\{f\}(s) é a imagem de f no domínio s.\n
  • Linearidade: \mathcal{L}\{a f + b g\}(s)=a\mathcal{L}\{f\}(s)+b\mathcal{L}\{g\}(s), com a,b constantes.\n
  • Transformada de derivadas (vamos deduzir para usar sem medo): para y(t) com derivadas contínuas e adequadas decaimentos,
    • tome \mathcal{L}\{y'(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty}e^{-st}y'(t)\,dt. Aplicando integração por partes, com u=e^{-st} e dv=y'(t)\,dt, obtém-se
    \mathcal{L}\{y'\}(s)=s\mathcal{L}\{y\}(s)-y(0).
    • Repetindo para a segunda derivada, ou aplicando a fórmula anterior duas vezes, chega-se a
    \mathcal{L}\{y''\}(s)=s^{2}\mathcal{L}\{y\}(s)-s\,y(0)-y'(0).
Expliquei porque essas fórmulas funcionam: a exponencial e^{-st} gera fatores s quando aplicamos integração por partes, e as condições iniciais aparecem como termos de contorno em t=0.

Passo 3

Aplicar a transformada de Laplace à equação diferencial inteira (transformada é linear, então aplica-se termo a termo). Denotando \mathcal{L}\{y\}(s)=Y(s), temos:
\mathcal{L}\{y''\}(s)+4\mathcal{L}\{y'\}(s)+2\mathcal{L}\{y\}(s)=0.
Substituindo as fórmulas das derivadas e as condições iniciais y(0)=1, y'(0)=0:
\bigl(s^{2}Y(s)-s\bigr)+4\bigl(sY(s)-1\bigr)+2Y(s)=0.

Passo 4

Resolver a equação algébrica em Y(s). Agrupando termos em Y(s) e os termos constantes:
\bigl(s^{2}+4s+2\bigr)Y(s)-s-4=0.
Portanto
\bigl(s^{2}+4s+2\bigr)Y(s)=s+4, \qquad\text{ou seja}\qquad Y(s)=\frac{s+4}{s^{2}+4s+2}.
Agora é preciso inverter essa transformada. Para isso fatoramos o denominador ou usamos decomposição em frações parciais. Primeiro encontramos as raízes do polinômio quadrático s^{2}+4s+2: o discriminante é \Delta=4^{2}-4\cdot1\cdot2=16-8=8, logo as raízes são
r_{1,2}=\frac{-4\pm\sqrt{8}}{2}=-2\pm\sqrt{2}.
Assim podemos escrever
s^{2}+4s+2=(s-r_{1})(s-r_{2})=(s+2-\sqrt{2})(s+2+\sqrt{2}).

Passo 5

Fazer decomposição em frações parciais para inverter facilmente. Escrevemos
\frac{s+4}{(s-r_{1})(s-r_{2})}=\frac{A}{s-r_{1}}+\frac{B}{s-r_{2}}.
Multiplicando ambos os lados por (s-r_{1})(s-r_{2}) obtém-se
s+4=A(s-r_{2})+B(s-r_{1}).
Uma forma rápida de achar A e B é usar o método “cover-up” (avaliar em s=r_{1} e s=r_{2}):
A=\frac{r_{1}+4}{r_{1}-r_{2}},\qquad B=\frac{r_{2}+4}{r_{2}-r_{1}}.
Calculando com r_{1}=-2+\sqrt{2} e r_{2}=-2-\sqrt{2}:
r_{1}-r_{2}=2\sqrt{2},\qquad r_{1}+4=2+\sqrt{2},\qquad r_{2}+4=2-\sqrt{2}.
Portanto
A=\frac{2+\sqrt{2}}{2\sqrt{2}}=\frac{1}{2}\bigl(1+\sqrt{2}\bigr), \qquad B=\frac{2-\sqrt{2}}{-2\sqrt{2}}=\frac{1}{2}\bigl(1-\sqrt{2}\bigr).
(Usei \tfrac{1}{\sqrt{2}}=\tfrac{\sqrt{2}}{2} para simplificar os quocientes.)
Logo
Y(s)=\frac{1}{2}\bigl(1+\sqrt{2}\bigr)\frac{1}{s-r_{1}}+\frac{1}{2}\bigl(1-\sqrt{2}\bigr)\frac{1}{s-r_{2}}.

Passo 6

Aplicar a transformada inversa (mini-aula): \mathcal{L}^{-1}\{\tfrac{1}{s-a}\}=e^{at} para t\ge 0. Portanto cada termo acima corresponde a uma exponencial. Invertendo termo a termo:
y(t)=\frac{1}{2}\bigl(1+\sqrt{2}\bigr)e^{r_{1}t}+\frac{1}{2}\bigl(1-\sqrt{2}\bigr)e^{r_{2}t},
onde r_{1}=-2+\sqrt{2} e r_{2}=-2-\sqrt{2}.\n
Opcional checagem rápida das condições iniciais: em t=0 tem-se y(0)=\tfrac{1}{2}(1+\sqrt{2})+\tfrac{1}{2}(1-\sqrt{2})=1, e derivando e avaliando em 0 obtém-se y'(0)=\tfrac{1}{2}(1+\sqrt{2})r_{1}+\tfrac{1}{2}(1-\sqrt{2})r_{2}=0, confirmando as condições iniciais (essa verificação confirma que não houve erro algébrico).

Resposta

y(t)=\tfrac{1}{2}\bigl(1+\sqrt{2}\bigr)e^{(-2+\sqrt{2})t}+\tfrac{1}{2}\bigl(1-\sqrt{2}\bigr)e^{(-2-\sqrt{2})t}

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