Encontre a solução do problema de valor inicial, usando transformada de Laplace.
.
Passo 1
O enunciado dá o problema de valor inicial
O que se pede: encontrar a solução
para
, usando transformada de Laplace. As condições iniciais são as que aparecem acima.
Passo 2
Definição e propriedades úteis da transformada de Laplace (mini-aula):\n
- A transformada de Laplace de uma função
(para ) é definida por
Aqui
é a variável complexa de domínio da transformada e
é a imagem de
no domínio
.\n
- Linearidade:
, com constantes.\n - Transformada de derivadas (vamos deduzir para usar sem medo): para
com derivadas contínuas e adequadas decaimentos, - tome
. Aplicando integração por partes, com e , obtém-se
- Repetindo para a segunda derivada, ou aplicando a fórmula anterior duas vezes, chega-se a
- tome
Expliquei porque essas fórmulas funcionam: a exponencial
gera fatores
quando aplicamos integração por partes, e as condições iniciais aparecem como termos de contorno em
.
Passo 3
Aplicar a transformada de Laplace à equação diferencial inteira (transformada é linear, então aplica-se termo a termo). Denotando
, temos:
Substituindo as fórmulas das derivadas e as condições iniciais
,
:
Passo 4
Resolver a equação algébrica em
. Agrupando termos em
e os termos constantes:
Portanto
Agora é preciso inverter essa transformada. Para isso fatoramos o denominador ou usamos decomposição em frações parciais. Primeiro encontramos as raízes do polinômio quadrático
: o discriminante é
, logo as raízes são
Assim podemos escrever
Passo 5
Fazer decomposição em frações parciais para inverter facilmente. Escrevemos
Multiplicando ambos os lados por
obtém-se
Uma forma rápida de achar
e
é usar o método “cover-up” (avaliar em
e
):
Calculando com
e
:
Portanto
(Usei
para simplificar os quocientes.)
Logo
Passo 6
Aplicar a transformada inversa (mini-aula):
para
. Portanto cada termo acima corresponde a uma exponencial. Invertendo termo a termo:
onde
e
.\n
Opcional checagem rápida das condições iniciais: em tem-se
, e derivando e avaliando em
obtém-se
, confirmando as condições iniciais (essa verificação confirma que não houve erro algébrico).
Opcional checagem rápida das condições iniciais: em