Questão 1 - Na equação
é a amplitude de um sinal que se propaga em um meio unidimensional, ao longo da posição
em um tempo
, onde
e
são constantes reais e positivas. Dois sinais
e
propagam-se no meio, com seus números dados em unidades do S.I. (
, e também a unidade adimensional rad (radiano) para as frequências). O resultado é um sinal
, batimento com frequência rápida de
e a amplitude modulada de frequência
.
(a) Determine os comprimentos de onda
e
e as frequências
e
dos dois sinais. (VALOR MÁXIMO: 1.0 ponto)
(b) Determine os valores das constantes
e
. (VALOR MÁXIMO: 2.0 pontos)
(c) Se as intensidades dos dois sinais são
e
, e do sinal resultante é
, determine a razão
. (VALOR MÁXIMO: 2.0 pontos)
(a) Determine os comprimentos de onda
(b) Determine os valores das constantes
(c) Se as intensidades dos dois sinais são
Passo 1
O enunciado fornece a equação de onda com termo de massa
onde
e
são constantes reais e positivas. Dois sinais que se propagam no meio são dados por
Os números de onda são portanto
e
(unidades
). O sinal resultante é
e apresenta batimento com frequência rápida (da portadora) igual a
e amplitude modulada com frequência
.
As perguntas pedidas são:
(a) determinar os comprimentos de onda e
e as frequências
e
dos dois sinais;
(b) determinar os valores das constantes e
;
(c) se as intensidades dos dois sinais são e
, e do sinal resultante é
, determinar a razão
.
(a) determinar os comprimentos de onda
(b) determinar os valores das constantes
(c) se as intensidades dos dois sinais são
Passo 2
Interpretação dos batimentos e relação soma-produto (fórmula trigonométrica útil).
Quando somamos duas senóides próximas em frequência e em forma , usamos a identidade soma-para-produto:
Quando somamos duas senóides próximas em frequência e em forma
Tomando
e
, a soma vira uma portadora com frequência média
multiplicada por um envelope (modulação) com frequência
. O enunciado diz que a frequência rápida (portadora) é
e a frequência da amplitude (modulação) é
. Logo, temos as equações:
Da combinação dessas duas equações obtemos
e
(dois valores possíveis trocando rótulos, mas tomaremos
sem perda de generalidade).
Passo 3
Calcular
e
.
Tomando e
, somando as duas equações:
Tomando
Substituindo em
:
Passo 4
Calcular os comprimentos de onda
e
.
Lembre que o comprimento de onda relaciona-se com o número de onda por
Lembre que o comprimento de onda relaciona-se com o número de onda por
onde
é o número de onda (unidade
). Aplicando aos
e
:
Para
:
(Aqui simplifiquei dividindo por
.)
Para
:
Passo 5
Relação de dispersão dada pela equação de onda.
Para soluções da forma da equação dada, substituímos na PDE para obter a relação entre
,
,
e
. Derivando duas vezes em
e em
e substituindo obtemos a relação (fórmula padrão para esse tipo de equação):
Para soluções da forma
Essa é chamada de relação de dispersão para esta equação (parecida com a de uma onda com termo de “massa”
). Para cada par
a relação deve valer.
Passo 6
Usar as duas ondas para obter
e
.
Escrevemos a relação de dispersão para cada onda:
Escrevemos a relação de dispersão para cada onda:
Subtraindo as duas equações elimina
:
Passo 7
Calcular
e
e então
.
Calculemos:
Calculemos:
E para as frequências:
Substituindo em
:
Como
, obtemos
Passo 8
Calcular
usando uma das relações de dispersão.
Usamos . Substituindo
,
e
:
Usamos
Com
(dado), temos
Passo 9
Entender intensidades e interferência (para o item (c)).
Intensidade de uma onda harmônica é proporcional ao quadrado da amplitude média no tempo. Se uma onda tem forma , sua intensidade média (sobre muitos ciclos) é proporcional a
. Para duas ondas somadas, a intensidade resultante depende da soma das amplitudes e da diferença de fase instantânea: a fórmula geral (quando as ondas têm mesma polarização e se somam linearmente) é
Intensidade de uma onda harmônica é proporcional ao quadrado da amplitude média no tempo. Se uma onda tem forma
onde
é a diferença de fase instantânea entre as ondas no ponto considerado. Para amplitudes iguais (aqui as duas senóides têm amplitude
), temos
. É pedagógico deduzir isso diretamente a partir da soma-para-produto.
Passo 10
Derivação da razão
para nosso caso (amplitudes iguais).
Escrevemos a soma usando soma-para-produto:
Escrevemos a soma usando soma-para-produto:
com
e
. Chamando
temos
. Então
A intensidade média sobre os ciclos rápidos da portadora (média temporal sobre
) anula os termos com
, deixando
Já a intensidade de uma das ondas individuais (amplitude 1) média sobre um ciclo é
Tomando a mesma constante de proporcionalidade para converter
em intensidade física, temos para cada onda
e para o resultante
. Dividindo (constante de proporcionalidade cancela):
Substituindo
e usando os valores numéricos já conhecidos
e
, obtemos a expressão explícita:
Observação didática: essa razão depende de
e
através do termo de fase
. Em pontos/tempos onde
(interferência construtiva total) a razão vale
(isto é,
— intensidade máxima). Em pontos/tempos de interferência destrutiva onde
a intensidade resultante é nula (razão não definida/infinita formalmente), refletindo anulação total. Se quisermos a razão média no tempo também sobre a modulação lenta, observe que
e então a razão média sobre toda a evolução seria
.
Resposta
(a)
(b)
(c)