Questão 1 - Na equação \frac{\partial^{2} \psi}{\partial t^{2}}-A^{2} \frac{\partial^{2} \psi}{\partial x^{2}}+B^{2} \psi=0, \psi(x, t) é a amplitude de um sinal que se propaga em um meio unidimensional, ao longo da posição x em um tempo t, onde A e B são constantes reais e positivas. Dois sinais \psi_{1}=\sin \left(\frac{2 \sqrt{3}}{3} x-\omega_{1} t\right) e \psi_{2}=\sin \left(\frac{\sqrt{5}}{3} x-\omega_{2} t\right) propagam-se no meio, com seus números dados em unidades do S.I. ( \mathrm{m}, \mathrm{s}, \mathrm{kg}, e também a unidade adimensional rad (radiano) para as frequências). O resultado é um sinal \psi=\psi_{1}+\psi_{2}, batimento com frequência rápida de 3.5 \mathrm{rad} / \mathrm{s} e a amplitude modulada de frequência 0.5 \mathrm{rad} / \mathrm{s}.
(a) Determine os comprimentos de onda \lambda_{1} e \lambda_{2} e as frequências \omega_{1} e \omega_{2} dos dois sinais. (VALOR MÁXIMO: 1.0 ponto)
(b) Determine os valores das constantes A e B. (VALOR MÁXIMO: 2.0 pontos)
(c) Se as intensidades dos dois sinais são I_{1} e I_{2}, e do sinal resultante é I, determine a razão I_{1} / I. (VALOR MÁXIMO: 2.0 pontos)

Passo 1

O enunciado fornece a equação de onda com termo de massa
\frac{\partial^{2}\psi}{\partial t^{2}}-A^{2}\frac{\partial^{2}\psi}{\partial x^{2}}+B^{2}\psi=0,
onde A e B são constantes reais e positivas. Dois sinais que se propagam no meio são dados por
\psi_{1}=\sin\!\left(\frac{2\sqrt{3}}{3}x-\omega_{1}t\right),\qquad \psi_{2}=\sin\!\left(\frac{\sqrt{5}}{3}x-\omega_{2}t\right).
Os números de onda são portanto \displaystyle k_{1}=\frac{2\sqrt{3}}{3} e \displaystyle k_{2}=\frac{\sqrt{5}}{3} (unidades \mathrm{rad/m}). O sinal resultante é \psi=\psi_{1}+\psi_{2} e apresenta batimento com frequência rápida (da portadora) igual a 3{,}5\\ \mathrm{rad/s} e amplitude modulada com frequência 0{,}5\\ \mathrm{rad/s}.
As perguntas pedidas são:
(a) determinar os comprimentos de onda \lambda_{1} e \lambda_{2} e as frequências \omega_{1} e \omega_{2} dos dois sinais;
(b) determinar os valores das constantes A e B;
(c) se as intensidades dos dois sinais são I_{1} e I_{2}, e do sinal resultante é I, determinar a razão I_{1}/I.

Passo 2

Interpretação dos batimentos e relação soma-produto (fórmula trigonométrica útil).
Quando somamos duas senóides próximas em frequência e em forma \sin(kx-\omega t), usamos a identidade soma-para-produto:
\sin a+\sin b = 2\sin\!\left(\frac{a+b}{2}\right)\cos\!\left(\frac{a-b}{2}\right).
Tomando a=k_{1}x-\omega_{1}t e b=k_{2}x-\omega_{2}t, a soma vira uma portadora com frequência média (\omega_{1}+\omega_{2})/2 multiplicada por um envelope (modulação) com frequência |\omega_{1}-\omega_{2}|/2. O enunciado diz que a frequência rápida (portadora) é 3{,}5\\ \mathrm{rad/s} e a frequência da amplitude (modulação) é 0{,}5\\ \mathrm{rad/s}. Logo, temos as equações:
\frac{\omega_{1}+\omega_{2}}{2}=3{,}5\quad\Rightarrow\quad \omega_{1}+\omega_{2}=7,
\frac{|\omega_{1}-\omega_{2}|}{2}=0{,}5\quad\Rightarrow\quad |\omega_{1}-\omega_{2}|=1.
Da combinação dessas duas equações obtemos \omega_{1} e \omega_{2} (dois valores possíveis trocando rótulos, mas tomaremos \omega_{1}>\omega_{2} sem perda de generalidade).

Passo 3

Calcular \omega_{1} e \omega_{2}.
Tomando \omega_{1}-\omega_{2}=1 e \omega_{1}+\omega_{2}=7, somando as duas equações:
2\omega_{1}=8\quad\Rightarrow\quad \omega_{1}=4\\ \mathrm{rad/s}.
Substituindo em \omega_{1}+\omega_{2}=7:
\omega_{2}=7-4=3\\ \mathrm{rad/s}.

Passo 4

Calcular os comprimentos de onda \lambda_{1} e \lambda_{2}.
Lembre que o comprimento de onda relaciona-se com o número de onda por
\lambda=\frac{2\pi}{k},
onde k é o número de onda (unidade \mathrm{rad/m}). Aplicando aos k_{1} e k_{2}:
Para \lambda_{1}:
\lambda_{1}=\frac{2\pi}{k_{1}}=\frac{2\pi}{\frac{2\sqrt{3}}{3}} =2\pi\cdot\frac{3}{2\sqrt{3}} =\frac{3\pi}{\sqrt{3}} =\pi\sqrt{3}\\ \mathrm{m}.
(Aqui simplifiquei dividindo por \sqrt{3}.)
Para \lambda_{2}:
\lambda_{2}=\frac{2\pi}{k_{2}}=\frac{2\pi}{\frac{\sqrt{5}}{3}} =2\pi\cdot\frac{3}{\sqrt{5}} =\frac{6\pi}{\sqrt{5}}\\ \mathrm{m}.

Passo 5

Relação de dispersão dada pela equação de onda.
Para soluções da forma \psi=\sin(kx-\omega t) da equação dada, substituímos na PDE para obter a relação entre \omega, k, A e B. Derivando duas vezes em t e em x e substituindo obtemos a relação (fórmula padrão para esse tipo de equação):
-\omega^{2}+A^{2}k^{2}+B^{2}=0\quad\Longrightarrow\quad \omega^{2}=A^{2}k^{2}+B^{2}.
Essa é chamada de relação de dispersão para esta equação (parecida com a de uma onda com termo de “massa” B). Para cada par (k_{i},\omega_{i}) a relação deve valer.

Passo 6

Usar as duas ondas para obter A e B.
Escrevemos a relação de dispersão para cada onda:
\omega_{1}^{2}=A^{2}k_{1}^{2}+B^{2}, \qquad \omega_{2}^{2}=A^{2}k_{2}^{2}+B^{2}.
Subtraindo as duas equações elimina B^{2}:
\omega_{1}^{2}-\omega_{2}^{2}=A^{2}(k_{1}^{2}-k_{2}^{2}) \quad\Rightarrow\quad A^{2}=\frac{\omega_{1}^{2}-\omega_{2}^{2}}{k_{1}^{2}-k_{2}^{2}}.

Passo 7

Calcular k_{1}^{2} e k_{2}^{2} e então A.
Calculemos:
k_{1}=\frac{2\sqrt{3}}{3}\quad\Rightarrow\quad k_{1}^{2}=\frac{4\cdot 3}{9}=\frac{12}{9}=\frac{4}{3}.
k_{2}=\frac{\sqrt{5}}{3}\quad\Rightarrow\quad k_{2}^{2}=\frac{5}{9}.
E para as frequências:
\omega_{1}=4\quad\Rightarrow\quad \omega_{1}^{2}=16, \qquad \omega_{2}=3\quad\Rightarrow\quad \omega_{2}^{2}=9.
Substituindo em A^{2}:
A^{2}=\frac{16-9}{\frac{4}{3}-\frac{5}{9}}=\frac{7}{\frac{12-5}{9}}=\frac{7}{\frac{7}{9}}=9.
Como A>0, obtemos
A=3.

Passo 8

Calcular B usando uma das relações de dispersão.
Usamos \omega_{1}^{2}=A^{2}k_{1}^{2}+B^{2}. Substituindo A^{2}=9, k_{1}^{2}=\frac{4}{3} e \omega_{1}^{2}=16:
16 = 9\cdot\frac{4}{3}+B^{2}=12+B^{2} \quad\Rightarrow\quad B^{2}=4.
Com B>0 (dado), temos
B=2.

Passo 9

Entender intensidades e interferência (para o item (c)).
Intensidade de uma onda harmônica é proporcional ao quadrado da amplitude média no tempo. Se uma onda tem forma A_{0}\sin(\cdot), sua intensidade média (sobre muitos ciclos) é proporcional a A_{0}^{2}/2. Para duas ondas somadas, a intensidade resultante depende da soma das amplitudes e da diferença de fase instantânea: a fórmula geral (quando as ondas têm mesma polarização e se somam linearmente) é
I = I_{1}+I_{2}+2\sqrt{I_{1}I_{2}}\cos\delta,
onde \delta é a diferença de fase instantânea entre as ondas no ponto considerado. Para amplitudes iguais (aqui as duas senóides têm amplitude 1), temos I_{1}=I_{2}. É pedagógico deduzir isso diretamente a partir da soma-para-produto.

Passo 10

Derivação da razão I_{1}/I para nosso caso (amplitudes iguais).
Escrevemos a soma usando soma-para-produto:
\psi=\sin a+\sin b = 2\sin\!\left(\frac{a+b}{2}\right)\cos\!\left(\frac{a-b}{2}\right),
com a=k_{1}x-\omega_{1}t e b=k_{2}x-\omega_{2}t. Chamando
M=\frac{a+b}{2}=\frac{k_{1}+k_{2}}{2}x-\frac{\omega_{1}+\omega_{2}}{2}t, \qquad D=\frac{a-b}{2}=\frac{k_{1}-k_{2}}{2}x-\frac{\omega_{1}-\omega_{2}}{2}t,
temos \psi=2\sin M\cos D. Então
\psi^{2}=4\sin^{2}M\cos^{2}D.
A intensidade média sobre os ciclos rápidos da portadora (média temporal sobre M) anula os termos com \cos 2M, deixando
\langle\psi^{2}\rangle_{M}=2\cos^{2}D.
Já a intensidade de uma das ondas individuais (amplitude 1) média sobre um ciclo é
\langle\sin^{2}(kx-\omega t)\rangle = \frac{1}{2}.
Tomando a mesma constante de proporcionalidade para converter \langle\psi^{2}\rangle em intensidade física, temos para cada onda I_{1}\propto\frac{1}{2} e para o resultante I\propto 2\cos^{2}D. Dividindo (constante de proporcionalidade cancela):
\frac{I_{1}}{I}=\frac{\tfrac{1}{2}}{2\cos^{2}D}=\frac{1}{4\cos^{2}D}.
Substituindo D e usando os valores numéricos já conhecidos \omega_{1}-\omega_{2}=1 e k_{1}-k_{2}=\dfrac{2\sqrt{3}-\sqrt{5}}{3}, obtemos a expressão explícita:
\frac{I_{1}}{I}=\frac{1}{4\cos^{2}\!\left(\frac{2\sqrt{3}-\sqrt{5}}{6}\,x-\frac{1}{2}\,t\right)}.
Observação didática: essa razão depende de x e t através do termo de fase D. Em pontos/tempos onde \cos D=\pm 1 (interferência construtiva total) a razão vale I_{1}/I=1/4 (isto é, I=4I_{1} — intensidade máxima). Em pontos/tempos de interferência destrutiva onde \cos D=0 a intensidade resultante é nula (razão não definida/infinita formalmente), refletindo anulação total. Se quisermos a razão média no tempo também sobre a modulação lenta, observe que \langle\cos^{2}D\rangle_{D}=1/2 e então a razão média sobre toda a evolução seria I_{1}/\langle I\rangle = \tfrac{1/2}{2\cdot 1/2}=\tfrac{1}{2}.

Resposta

(a) \lambda_{1}=\pi\sqrt{3}\\ \mathrm{m},\quad \lambda_{2}=\dfrac{6\pi}{\sqrt{5}}\\ \mathrm{m};\quad \omega_{1}=4\\ \mathrm{rad/s},\quad \omega_{2}=3\\ \mathrm{rad/s}.
(b) A=3,\quad B=2.
(c) \displaystyle \frac{I_{1}}{I}=\frac{1}{4\cos^{2}\!\left(\frac{2\sqrt{3}-\sqrt{5}}{6}\,x-\frac{1}{2}\,t\right)}.

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