Questão 2 - Um pulso eletromagnético no vácuo tem o campo elétrico dado por \overrightarrow{\boldsymbol{E}}=E_{0} e^{-\beta^{2}(z-c t)^{2}} \hat{\boldsymbol{x}}, onde E_{0}, \beta e c são constantes positivas, z é a terceira coordenada da base cartesiana \{\hat{\boldsymbol{x}}, \hat{\boldsymbol{y}}, \hat{\boldsymbol{z}}\} e t é o tempo.
(a) Calcule o campo magnético \overrightarrow{\boldsymbol{B}} e o vetor de Poynting \overrightarrow{\boldsymbol{S}} do pulso. Dica: suponha \overrightarrow{\boldsymbol{B}}= \mathbb{C} e^{-\beta^{2}(z-c t)^{2}} \hat{\boldsymbol{y}} e determine a constante \mathbb{C}, usando a lei de Faraday.
(VALOR MÁXIMO: 2.0 pontos)
(b) Calcule o vetor médio \langle\overrightarrow{\boldsymbol{S}}\rangle \equiv \beta c \int_{-\infty}^{+\infty} d t \overrightarrow{\boldsymbol{S}}. (VALOR MÁXIMO: 2.0 pontos)
(c) Calcule a potência média transportada pelo pulso através de uma superfície plana de área A, perpendicular ao eixo \hat{\boldsymbol{z}}. (VALOR MÁXIMO: 1.0 ponto)

Passo 1

Vamos entender certinho o que o enunciado pede e o que ele nos deu. O enunciado dá o campo elétrico do pulso eletromagnético no vácuo:
\overrightarrow{\boldsymbol{E}} = E_{0} e^{-\beta^{2}(z - c t)^{2}} \,\hat{\boldsymbol{x}},
onde E_{0},\beta,c>0. As perguntas são:
(a) Calcular o campo magnético \overrightarrow{\boldsymbol{B}} e o vetor de Poynting \overrightarrow{\boldsymbol{S}}. O enunciado sugere assumir \overrightarrow{\boldsymbol{B}}=\mathbb{C} e^{-\beta^{2}(z-c t)^{2}}\hat{\boldsymbol{y}} e determinar \mathbb{C} usando a lei de Faraday.
(b) Calcular o vetor médio \langle\overrightarrow{\boldsymbol{S}}\rangle \equiv \beta c \int_{-\infty}^{+\infty} d t\,\overrightarrow{\boldsymbol{S}}.
(c) Calcular a potência média transportada pelo pulso através de uma superfície plana de área A, perpendicular ao eixo \hat{\boldsymbol{z}}.
Informações relevantes que vamos usar:
  • O pulso depende apenas da combinação z-ct (onda que se propaga na direção +\hat{\boldsymbol{z}} sem distorção).
  • Supondo a forma sugerida, o campo magnético tem apenas componente na direção \hat{\boldsymbol{y}} com a mesma forma espacial/temporal do \overrightarrow{\boldsymbol{E}}.
  • Precisaremos das equações de Maxwell no vácuo, em particular a lei de Faraday no formato \nabla\times\overrightarrow{\boldsymbol{E}} = -\partial\overrightarrow{\boldsymbol{B}}/\partial t, e a definição do vetor de Poynting em SI: \overrightarrow{\boldsymbol{S}} = \dfrac{1}{\mu_{0}}\,\overrightarrow{\boldsymbol{E}}\times\overrightarrow{\boldsymbol{B}}.
  • Para integrar gaussiana usaremos a fórmula \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} e^{-a u^{2}}du=\sqrt{\dfrac{\pi}{a}} para a>0.

Passo 2

Aplicando a dica: assumimos
\overrightarrow{\boldsymbol{B}}=\mathbb{C}\,e^{-\beta^{2}(z-ct)^{2}}\,\hat{\boldsymbol{y}}.
Vamos usar a lei de Faraday para determinar \mathbb{C}:
\nabla\times\overrightarrow{\boldsymbol{E}} = -\frac{\partial\overrightarrow{\boldsymbol{B}}}{\partial t}.
Primeiro calcule \nabla\times\overrightarrow{\boldsymbol{E}}. Como \overrightarrow{\boldsymbol{E}}=E_{x}(z,t)\hat{\boldsymbol{x}} e E_{x}=E_{0}e^{-\beta^{2}(z-ct)^{2}}, a única derivada não nula para o rotacional é a componente na direção \hat{\boldsymbol{y}}:
(\nabla\times\overrightarrow{\boldsymbol{E}})_{y}=\frac{\partial E_{x}}{\partial z}.
Calculemos \partial E_{x}/\partial z:
\frac{\partial E_{x}}{\partial z} =E_{0}\,\frac{d}{dz}\!\left(e^{-\beta^{2}(z-ct)^{2}}\right) =E_{0}\,\big(-2\beta^{2}(z-ct)\big)\,e^{-\beta^{2}(z-ct)^{2}}.

Passo 3

Agora calcule -\partial\overrightarrow{\boldsymbol{B}}/\partial t. Como \overrightarrow{\boldsymbol{B}}=\mathbb{C}e^{-\beta^{2}(z-ct)^{2}}\hat{\boldsymbol{y}}, sua derivada temporal é
\frac{\partial B_{y}}{\partial t} =\mathbb{C}\,\frac{d}{dt}\!\left(e^{-\beta^{2}(z-ct)^{2}}\right) =\mathbb{C}\,\big(2\beta^{2}c (z-ct)\big)\,e^{-\beta^{2}(z-ct)^{2}}.
Portanto
-\frac{\partial B_{y}}{\partial t} =-\mathbb{C}\,2\beta^{2}c(z-ct)\,e^{-\beta^{2}(z-ct)^{2}}.

Passo 4

Igualando as componentes y da lei de Faraday:
\frac{\partial E_{x}}{\partial z} = -\frac{\partial B_{y}}{\partial t},
substituímos os resultados dos passos anteriores:
E_{0}\big(-2\beta^{2}(z-ct)\big)e^{-\beta^{2}(z-ct)^{2}} = -\mathbb{C}\,2\beta^{2}c(z-ct)\,e^{-\beta^{2}(z-ct)^{2}}.
Cancelando o fator comum -2\beta^{2}(z-ct)e^{-\beta^{2}(z-ct)^{2}} (observe que para todas as posições/times relevantes ele não anula a igualdade), obtemos
E_{0} = \mathbb{C}\,c \quad\Rightarrow\quad \mathbb{C}=\frac{E_{0}}{c}.

Passo 5

Concluímos a parte (a) para \overrightarrow{\boldsymbol{B}}:
\overrightarrow{\boldsymbol{B}}=\frac{E_{0}}{c}\,e^{-\beta^{2}(z-ct)^{2}}\,\hat{\boldsymbol{y}}.
Comentário físico curto: isso é consistente com a relação geral de ondas eletromagnéticas no vácuo para uma onda que se propaga em +\hat{\boldsymbol{z}}: \overrightarrow{\boldsymbol{B}}=(1/c)\,\hat{\boldsymbol{z}}\times\overrightarrow{\boldsymbol{E}}.

Passo 6

Agora calculemos o vetor de Poynting. Em unidades SI:
\overrightarrow{\boldsymbol{S}}=\frac{1}{\mu_{0}}\,\overrightarrow{\boldsymbol{E}}\times\overrightarrow{\boldsymbol{B}}.
Como \overrightarrow{\boldsymbol{E}}=E_{x}\hat{\boldsymbol{x}} e \overrightarrow{\boldsymbol{B}}=B_{y}\hat{\boldsymbol{y}}, temos \hat{\boldsymbol{x}}\times\hat{\boldsymbol{y}}=\hat{\boldsymbol{z}}. A componente z de \overrightarrow{\boldsymbol{S}} é então
S_{z}=\frac{1}{\mu_{0}}\,E_{x}B_{y} =\frac{1}{\mu_{0}}\,E_{0}e^{-\beta^{2}(z-ct)^{2}}\cdot\frac{E_{0}}{c}e^{-\beta^{2}(z-ct)^{2}}.
Agrupando,
\overrightarrow{\boldsymbol{S}}=\frac{E_{0}^{2}}{\mu_{0} c}\,e^{-2\beta^{2}(z-ct)^{2}}\,\hat{\boldsymbol{z}}.

Passo 7

Podemos reescrever \dfrac{1}{\mu_{0}c} em função de \varepsilon_{0} e c lembrando que c=1/\sqrt{\varepsilon_{0}\mu_{0}}. Uma identidade útil é
\frac{1}{\mu_{0}c}=\varepsilon_{0}c.
Usando isso, uma forma alternativa, muitas vezes mais conveniente, é
\overrightarrow{\boldsymbol{S}}=\varepsilon_{0}c\,E_{0}^{2}\,e^{-2\beta^{2}(z-ct)^{2}}\,\hat{\boldsymbol{z}}.
Isso conclui a resposta da parte (a): \overrightarrow{\boldsymbol{B}} e \overrightarrow{\boldsymbol{S}} explicitados acima.

Passo 8

Parte (b): precisamos calcular
\langle\overrightarrow{\boldsymbol{S}}\rangle \equiv \beta c \int_{-\infty}^{+\infty} dt\,\overrightarrow{\boldsymbol{S}}.
Substituímos a expressão encontrada para \overrightarrow{\boldsymbol{S}}:
\langle\overrightarrow{\boldsymbol{S}}\rangle = \beta c \int_{-\infty}^{+\infty} dt\; \varepsilon_{0}c\,E_{0}^{2}\,e^{-2\beta^{2}(z-ct)^{2}}\,\hat{\boldsymbol{z}}.
Colocando constantes fora da integral:
\langle\overrightarrow{\boldsymbol{S}}\rangle = \varepsilon_{0}c^{2}E_{0}^{2}\,\beta \left(\int_{-\infty}^{+\infty} dt\; e^{-2\beta^{2}(z-ct)^{2}}\right)\hat{\boldsymbol{z}}.

Passo 9

Façamos a mudança de variável conveniente para integrar em t. Defina
u = z-ct \quad\Rightarrow\quad du = -c\,dt \quad\Rightarrow\quad dt = -\frac{du}{c}.
Quando t vai de -\infty a +\infty, u vai de +\infty a -\infty, mas a troca de limites introduz um sinal que cancela o sinal do dt, então
\int_{-\infty}^{+\infty} dt\; e^{-2\beta^{2}(z-ct)^{2}} = \frac{1}{c}\int_{-\infty}^{+\infty} du\; e^{-2\beta^{2}u^{2}}.
Agora use a integral gaussiana padrão \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} e^{-a u^{2}}du=\sqrt{\dfrac{\pi}{a}} com a=2\beta^{2}. Assim
\int_{-\infty}^{+\infty} dt\; e^{-2\beta^{2}(z-ct)^{2}} = \frac{1}{c}\sqrt{\frac{\pi}{2\beta^{2}}}.

Passo 10

Substituindo na expressão de \langle\overrightarrow{\boldsymbol{S}}\rangle:
\langle\overrightarrow{\boldsymbol{S}}\rangle = \varepsilon_{0}c^{2}E_{0}^{2}\,\beta \left(\frac{1}{c}\sqrt{\frac{\pi}{2\beta^{2}}}\right)\hat{\boldsymbol{z}}.
Simplificando fatores: c^{2}\cdot(1/c)=c e \beta/\sqrt{\beta^{2}}=1 (porque \beta>0 dado no enunciado). Portanto
\langle\overrightarrow{\boldsymbol{S}}\rangle = \varepsilon_{0}cE_{0}^{2}\sqrt{\frac{\pi}{2}}\,\hat{\boldsymbol{z}}.
Observação: é interessante (e reconfortante) notar que o parâmetro \beta que controla a largura temporal/espacial do pulso cancela nessa definição particular de média \beta c\int dt, resultando em uma expressão independente de \beta.

Passo 11

Parte (c): A potência média transportada pelo pulso através de uma superfície plana de área A, perpendicular ao eixo \hat{\boldsymbol{z}}, é simplesmente o fluxo de energia (potência) através dessa área. Como \langle\overrightarrow{\boldsymbol{S}}\rangle tem unidades de potência por área na definição dada, a potência média P é
P = A\,\hat{\boldsymbol{z}}\cdot\langle\overrightarrow{\boldsymbol{S}}\rangle.
Como \langle\overrightarrow{\boldsymbol{S}}\rangle está na direção \hat{\boldsymbol{z}}, temos
P = A\,\varepsilon_{0}cE_{0}^{2}\sqrt{\frac{\pi}{2}}.

Resposta

(a) \displaystyle \overrightarrow{\boldsymbol{B}}=\frac{E_{0}}{c}\,e^{-\beta^{2}(z-ct)^{2}}\,\hat{\boldsymbol{y}},\qquad \overrightarrow{\boldsymbol{S}}=\frac{E_{0}^{2}}{\mu_{0}c}\,e^{-2\beta^{2}(z-ct)^{2}}\,\hat{\boldsymbol{z}}=\varepsilon_{0}cE_{0}^{2}\,e^{-2\beta^{2}(z-ct)^{2}}\,\hat{\boldsymbol{z}}.
(b) \displaystyle \langle\overrightarrow{\boldsymbol{S}}\rangle=\varepsilon_{0}cE_{0}^{2}\sqrt{\frac{\pi}{2}}\,\hat{\boldsymbol{z}}.
(c) \displaystyle P=A\,\varepsilon_{0}cE_{0}^{2}\sqrt{\frac{\pi}{2}}.

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