Questão 2 - Um pulso eletromagnético no vácuo tem o campo elétrico dado por
, onde
e
são constantes positivas,
é a terceira coordenada da base cartesiana
e
é o tempo.
(a) Calcule o campo magnético
e o vetor de Poynting
do pulso. Dica: suponha
e determine a constante
, usando a lei de Faraday.
(VALOR MÁXIMO: 2.0 pontos)
(b) Calcule o vetor médio
. (VALOR MÁXIMO: 2.0 pontos)
(c) Calcule a potência média transportada pelo pulso através de uma superfície plana de área
, perpendicular ao eixo
. (VALOR MÁXIMO: 1.0 ponto)
(a) Calcule o campo magnético
(VALOR MÁXIMO: 2.0 pontos)
(b) Calcule o vetor médio
(c) Calcule a potência média transportada pelo pulso através de uma superfície plana de área
Passo 1
Vamos entender certinho o que o enunciado pede e o que ele nos deu. O enunciado dá o campo elétrico do pulso eletromagnético no vácuo:
onde
. As perguntas são:
(a) Calcular o campo magnético e o vetor de Poynting
. O enunciado sugere assumir
e determinar
usando a lei de Faraday.
(b) Calcular o vetor médio .
(c) Calcular a potência média transportada pelo pulso através de uma superfície plana de área , perpendicular ao eixo
.
(a) Calcular o campo magnético
(b) Calcular o vetor médio
(c) Calcular a potência média transportada pelo pulso através de uma superfície plana de área
Informações relevantes que vamos usar:
- O pulso depende apenas da combinação
(onda que se propaga na direção sem distorção). - Supondo a forma sugerida, o campo magnético tem apenas componente na direção
com a mesma forma espacial/temporal do . - Precisaremos das equações de Maxwell no vácuo, em particular a lei de Faraday no formato
, e a definição do vetor de Poynting em SI: . - Para integrar gaussiana usaremos a fórmula
para .
Passo 2
Aplicando a dica: assumimos
Vamos usar a lei de Faraday para determinar
:
Primeiro calcule
. Como
e
, a única derivada não nula para o rotacional é a componente na direção
:
Calculemos
:
Passo 3
Agora calcule
. Como
, sua derivada temporal é
Portanto
Passo 4
Igualando as componentes
da lei de Faraday:
substituímos os resultados dos passos anteriores:
Cancelando o fator comum
(observe que para todas as posições/times relevantes ele não anula a igualdade), obtemos
Passo 5
Concluímos a parte (a) para
:
Comentário físico curto: isso é consistente com a relação geral de ondas eletromagnéticas no vácuo para uma onda que se propaga em
:
.
Passo 6
Agora calculemos o vetor de Poynting. Em unidades SI:
Como
e
, temos
. A componente
de
é então
Agrupando,
Passo 7
Podemos reescrever
em função de
e
lembrando que
. Uma identidade útil é
Usando isso, uma forma alternativa, muitas vezes mais conveniente, é
Isso conclui a resposta da parte (a):
e
explicitados acima.
Passo 8
Parte (b): precisamos calcular
Substituímos a expressão encontrada para
:
Colocando constantes fora da integral:
Passo 9
Façamos a mudança de variável conveniente para integrar em
. Defina
Quando
vai de
a
,
vai de
a
, mas a troca de limites introduz um sinal que cancela o sinal do
, então
Agora use a integral gaussiana padrão
com
. Assim
Passo 10
Substituindo na expressão de
:
Simplificando fatores:
e
(porque
dado no enunciado). Portanto
Observação: é interessante (e reconfortante) notar que o parâmetro
que controla a largura temporal/espacial do pulso cancela nessa definição particular de média
, resultando em uma expressão independente de
.
Passo 11
Parte (c): A potência média transportada pelo pulso através de uma superfície plana de área
, perpendicular ao eixo
, é simplesmente o fluxo de energia (potência) através dessa área. Como
tem unidades de potência por área na definição dada, a potência média
é
Como
está na direção
, temos
Resposta
(a)
(b)
(c)
(b)
(c)