Questão 9-3 (Equações de Transformação) “Determine a tensão normal e a tensão de cisalhamento atuantes na seção inclinada (a)
e (b)
em relação ao eixo x, para o estado plano de tensão fornecido:
.”
Passo 1
O enunciado fornece um estado plano de tensão com os seguintes dados (isto é o que foi dado e o que é pedido):
- Dados fornecidos:
-
- Pergunta: determinar a tensão normal e a tensão de cisalhamento atuantes na seção inclinada em relação ao eixo
para: - (a)
- (b)
- (a)
Aqui
é o ângulo de rotação do plano que corta o elemento, medido a partir do eixo
no sentido anti-horário; a tensão normal na face inclinada será denotada por
e a tensão de cisalhamento nessa face por
. No Passo 2 começo a desenvolver a teoria e as fórmulas.
Passo 2
Conceito e fórmulas de transformação (explicação didática):
- Imagine um pequeno elemento de material com tensões atuando nas faces ortogonais
e : -
é a tensão normal na face com normal no eixo (positivo = tração). -
é a tensão normal na face com normal no eixo (positivo = tração). -
é a tensão de cisalhamento na face normal a (por equilíbrio, ).
-
- Se girarmos o elemento por um ângulo
, as tensões que aparecem nas novas faces (normais a e , ou numa face inclinada a ) são obtidas pelas equações de transformação de tensão para 2D. - As formas usuais, obtidas por resolução geométrica e equilíbrios e/ou por rotação de tensores, são (estas são fórmulas padrão; vou explicá-las e depois simplificá-las):
- Aqui
é a tensão normal na direção (que é a tensão normal na face cujo plano forma com ); é a componente de cisalhamento nessa face (denotarei e ).
Passo 3
Forma prática usando identidades trigonométricas (ensinando como simplificar para usar na prova):
- Use as identidades:
- Substituindo essas identidades nas fórmulas do Passo 2 obtém-se as formas muito usadas, que são mais rápidas para cálculo:
- Explicação do que cada termo representa:
-
é a tensão média (componente isotrópica) — isto desloca a curva para cima/baixo. -
é a variação da normal com a inclinação (depende da diferença entre e ). -
mostra como o cisalhamento inicial contribui para a tensão normal na face inclinada. - Para
, o primeiro termo vem da diferença de normais e o segundo da contribuição direta do cisalhamento original.
-
- Essas fórmulas são as que usaremos para calcular numericamente. Sempre cuide do sinal: adotou-se a convenção tensile positivo para tensões normais.
Passo 4
Calcular quantidades auxiliares que aparecem nas fórmulas (mostrar contas passo a passo):
- Calcular a média e a metade da diferença das tensões dadas:
- Anotar
. Guardar esses valores para usar nas fórmulas do Passo 3.
Passo 5
Cálculo detalhado para (a)
:
- Primeiro, calcular
:
- Valores trigonométricos exatos (úteis e rápidos na prova):
- Aplicar a fórmula da tensão normal:
Substituindo os números:
- Fazer as contas em etapas:
- Aplicar a fórmula do cisalhamento:
Substituindo os números:
- Etapas:
- Arredondando para duas casas decimais para apresentação:
Passo 6
Cálculo detalhado para (b)
:
- Primeiro, calcular
:
- Valores trigonométricos:
- Aplicar a fórmula da tensão normal:
Substituindo:
- Etapas:
- Aplicar a fórmula do cisalhamento:
Substituindo:
- Etapas:
- Arredondando:
Passo 7
Interpretação rápida dos sinais e resultado (para sua prova):
-
significa tração (positivo), significa compressão. -
segue a convenção adotada nas fórmulas (valor positivo indica o sentido convencional de cisalhamento na face considerada). Se for necessário o cisalhamento na face oposta, o sinal inverte. - Recapitulando mentalmente: para
obteve-se uma tensão normal tênsil relativamente alta e um cisalhamento também grande; para a normal é compressiva e o cisalhamento é menor (positivo).
Resposta
(a)
(b)
(b)