Questão 9-3 (Equações de Transformação) “Determine a tensão normal e a tensão de cisalhamento atuantes na seção inclinada (a) 30^{\circ} e (b) -15^{\circ} em relação ao eixo x, para o estado plano de tensão fornecido: \sigma_{x}=-20 \mathrm{MPa}, \sigma_{y}=90 \mathrm{MPa}, \tau_{x y}=60 \mathrm{MPa}.”

Passo 1

O enunciado fornece um estado plano de tensão com os seguintes dados (isto é o que foi dado e o que é pedido):
  • Dados fornecidos:
    • \sigma_{x} = -20\\ \text{MPa}
    • \sigma_{y} = 90\\ \text{MPa}
    • \tau_{xy} = 60\\ \text{MPa}
  • Pergunta: determinar a tensão normal e a tensão de cisalhamento atuantes na seção inclinada em relação ao eixo x para:
    • (a) \theta = 30^\circ
    • (b) \theta = -15^\circ
Aqui \theta é o ângulo de rotação do plano que corta o elemento, medido a partir do eixo x no sentido anti-horário; a tensão normal na face inclinada será denotada por \sigma_n e a tensão de cisalhamento nessa face por \tau_n. No Passo 2 começo a desenvolver a teoria e as fórmulas.

Passo 2

Conceito e fórmulas de transformação (explicação didática):
  • Imagine um pequeno elemento de material com tensões atuando nas faces ortogonais x e y:
    • \sigma_x é a tensão normal na face com normal no eixo x (positivo = tração).
    • \sigma_y é a tensão normal na face com normal no eixo y (positivo = tração).
    • \tau_{xy} é a tensão de cisalhamento na face normal a x (por equilíbrio, \tau_{yx}=\tau_{xy}).
  • Se girarmos o elemento por um ângulo \theta, as tensões que aparecem nas novas faces (normais a x' e y', ou numa face inclinada a \theta) são obtidas pelas equações de transformação de tensão para 2D.
  • As formas usuais, obtidas por resolução geométrica e equilíbrios e/ou por rotação de tensores, são (estas são fórmulas padrão; vou explicá-las e depois simplificá-las):
\sigma_{x'} = \sigma_x\cos^2\theta + \sigma_y\sin^2\theta + 2\tau_{xy}\sin\theta\cos\theta
\tau_{x'y'} = (\sigma_y-\sigma_x)\sin\theta\cos\theta + \tau_{xy}(\cos^2\theta-\sin^2\theta)
  • Aqui \sigma_{x'} é a tensão normal na direção x' (que é a tensão normal na face cujo plano forma \theta com x); \tau_{x'y'} é a componente de cisalhamento nessa face (denotarei \sigma_n=\sigma_{x'} e \tau_n=\tau_{x'y'}).

Passo 3

Forma prática usando identidades trigonométricas (ensinando como simplificar para usar na prova):
  • Use as identidades:
\cos^2\theta = \tfrac{1+\cos2\theta}{2},\qquad \sin^2\theta = \tfrac{1-\cos2\theta}{2},\qquad \sin\theta\cos\theta = \tfrac{\sin2\theta}{2}.
  • Substituindo essas identidades nas fórmulas do Passo 2 obtém-se as formas muito usadas, que são mais rápidas para cálculo:
\sigma_n \equiv \sigma_{x'} = \frac{\sigma_x+\sigma_y}{2} + \frac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\cos2\theta + \tau_{xy}\sin2\theta
\tau_n \equiv \tau_{x'y'} = -\frac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\sin2\theta + \tau_{xy}\cos2\theta
  • Explicação do que cada termo representa:
    • \dfrac{\sigma_x+\sigma_y}{2} é a tensão média (componente isotrópica) — isto desloca a curva para cima/baixo.
    • \dfrac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\cos2\theta é a variação da normal com a inclinação (depende da diferença entre \sigma_x e \sigma_y).
    • \tau_{xy}\sin2\theta mostra como o cisalhamento inicial contribui para a tensão normal na face inclinada.
    • Para \tau_n, o primeiro termo vem da diferença de normais e o segundo da contribuição direta do cisalhamento original.
  • Essas fórmulas são as que usaremos para calcular numericamente. Sempre cuide do sinal: adotou-se a convenção tensile positivo para tensões normais.

Passo 4

Calcular quantidades auxiliares que aparecem nas fórmulas (mostrar contas passo a passo):
  • Calcular a média e a metade da diferença das tensões dadas:
\frac{\sigma_x+\sigma_y}{2} = \frac{-20 + 90}{2} = \frac{70}{2} = 35\\ \text{MPa}.
\frac{\sigma_x-\sigma_y}{2} = \frac{-20 - 90}{2} = \frac{-110}{2} = -55\\ \text{MPa}.
  • Anotar \tau_{xy}=60\\ \text{MPa}. Guardar esses valores para usar nas fórmulas do Passo 3.

Passo 5

Cálculo detalhado para (a) \theta=30^\circ:
  • Primeiro, calcular 2\theta:
2\theta = 2\cdot 30^\circ = 60^\circ.
  • Valores trigonométricos exatos (úteis e rápidos na prova):
\cos 60^\circ = \tfrac{1}{2},\qquad \sin 60^\circ = \tfrac{\sqrt{3}}{2}\approx 0,8660254.
  • Aplicar a fórmula da tensão normal:
\sigma_n = \frac{\sigma_x+\sigma_y}{2} + \frac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\cos2\theta + \tau_{xy}\sin2\theta.
Substituindo os números:
\sigma_n = 35 + (-55)\cdot\left(\tfrac{1}{2}\right) + 60\cdot\left(\tfrac{\sqrt{3}}{2}\right).
  • Fazer as contas em etapas:
(-55)\cdot\tfrac{1}{2} = -27{,}5,
60\cdot\tfrac{\sqrt{3}}{2} = 30\sqrt{3}\approx 30\cdot 1{,}7320508 \approx 51{,}9615.
\sigma_n = 35 - 27{,}5 + 51{,}9615 = 59{,}4615\\ \text{MPa}.
  • Aplicar a fórmula do cisalhamento:
\tau_n = -\frac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\sin2\theta + \tau_{xy}\cos2\theta.
Substituindo os números:
\tau_n = -(-55)\cdot\left(\tfrac{\sqrt{3}}{2}\right) + 60\cdot\left(\tfrac{1}{2}\right).
  • Etapas:
-(-55)\cdot\tfrac{\sqrt{3}}{2} = 55\cdot\tfrac{\sqrt{3}}{2} \approx 55\cdot 0{,}8660254 \approx 47{,}6314,
60\cdot\tfrac{1}{2} = 30.
\tau_n = 47{,}6314 + 30 = 77{,}6314\\ \text{MPa}.
  • Arredondando para duas casas decimais para apresentação:
\sigma_n \approx 59{,}46\\ \text{MPa},\qquad \tau_n \approx 77{,}63\\ \text{MPa}.

Passo 6

Cálculo detalhado para (b) \theta=-15^\circ:
  • Primeiro, calcular 2\theta:
2\theta = 2\cdot(-15^\circ) = -30^\circ.
  • Valores trigonométricos:
\cos(-30^\circ) = \cos 30^\circ = \tfrac{\sqrt{3}}{2}\approx 0{,}8660254, \qquad \sin(-30^\circ) = -\sin 30^\circ = -\tfrac{1}{2}.
  • Aplicar a fórmula da tensão normal:
\sigma_n = 35 + (-55)\cdot\cos(-30^\circ) + 60\cdot\sin(-30^\circ).
Substituindo:
\sigma_n = 35 + (-55)\cdot\left(\tfrac{\sqrt{3}}{2}\right) + 60\cdot\left(-\tfrac{1}{2}\right).
  • Etapas:
(-55)\cdot\tfrac{\sqrt{3}}{2} \approx -55\cdot 0{,}8660254 \approx -47{,}6314,
60\cdot\left(-\tfrac{1}{2}\right) = -30.
\sigma_n = 35 - 47{,}6314 - 30 = -42{,}6314\\ \text{MPa}.
  • Aplicar a fórmula do cisalhamento:
\tau_n = -(-55)\cdot\sin(-30^\circ) + 60\cdot\cos(-30^\circ).
Substituindo:
\tau_n = 55\cdot\left(-\tfrac{1}{2}\right) + 60\cdot\left(\tfrac{\sqrt{3}}{2}\right).
  • Etapas:
55\cdot\left(-\tfrac{1}{2}\right) = -27{,}5,
60\cdot\tfrac{\sqrt{3}}{2} \approx 51{,}9615.
\tau_n = -27{,}5 + 51{,}9615 = 24{,}4615\\ \text{MPa}.
  • Arredondando:
\sigma_n \approx -42{,}63\\ \text{MPa},\qquad \tau_n \approx 24{,}46\\ \text{MPa}.

Passo 7

Interpretação rápida dos sinais e resultado (para sua prova):
  • \sigma_n>0 significa tração (positivo), \sigma_n<0 significa compressão.
  • \tau_n segue a convenção adotada nas fórmulas (valor positivo indica o sentido convencional de cisalhamento na face considerada). Se for necessário o cisalhamento na face oposta, o sinal inverte.
  • Recapitulando mentalmente: para \theta=30^\circ obteve-se uma tensão normal tênsil relativamente alta e um cisalhamento também grande; para \theta=-15^\circ a normal é compressiva e o cisalhamento é menor (positivo).

Resposta

(a) \sigma_n = 59{,}46\\ \text{MPa},\\ \tau_n = 77{,}63\\ \text{MPa}
(b) \sigma_n = -42{,}63\\ \text{MPa},\\ \tau_n = 24{,}46\\ \text{MPa}

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