Questão 9-15 (Tensões Principais) “Determine as tensões normal e de cisalhamento máximas no plano para o estado de tensão dado:
.”
Passo 1
O enunciado dá o estado de tensão no plano e pede as tensões normais e de cisalhamento máximas no plano. Informações fornecidas:
-
(tensão normal na direção ); -
(tensão normal na direção ); -
(tensão de cisalhamento no plano ).
O que precisa ser determinado:
- As tensões normais máximas no plano (ou seja, as tensões principais
e ); - A tensão de cisalhamento máxima no plano (
); - Opcionalmente, as orientações (ângulos) dos planos principais e dos planos de máxima cisalhamento para referência.
Passo 2
Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicadas passo a passo).
-
Média das tensões normais (centro de Mohr):
. - Aqui
é o valor médio entre as tensões normais nas direções e . É o centro do círculo de Mohr.
- Aqui
-
Raio do círculo de Mohr (quantifica a diferença entre as tensões e o efeito do cisalhamento):
- A expressão dentro da raiz combina a diferença das normais (metade da diferença, ao quadrado) com o cisalhamento ao quadrado. Esse
é a magnitude do desvio que leva do valor médio até as tensões principais ou até a tensão de cisalhamento máxima.
- Tensões principais (máximas e mínimas de tensão normal no plano):
-
é a maior (usar o sinal +) e é a menor (usar o sinal −).
- Tensão de cisalhamento máxima no plano:
- A maior tensão de cisalhamento plana é exatamente o raio
. Alternativamente pode-se usar , que dá o mesmo resultado.
- Ângulo dos planos principais (opcional, mas útil): o ângulo
medido a partir do eixo satisfaça
- Note que esse ângulo dá a direção onde o cisalhamento é zero e a tensão normal atinge
ou . Os planos de máxima cisalhamento ocorrem a .
Passo 3
Calcule a média das tensões:
Explanação: some as duas tensões normais e divida por 2 — isso centraliza a análise (centro do círculo de Mohr).
Passo 4
Calcule o termo
e suas contribuições:
Agora calcule o raio
:
Explicação: soma-se o quadrado da metade da diferença das normais com o quadrado do cisalhamento e, em seguida, tira-se a raiz quadrada — isso dá a “distância” até as tensões principais e até a máxima cisalhamento no círculo de Mohr.
Passo 5
Calcule as tensões principais usando
:
Interpretação: a maior tensão normal no plano é
e a menor (pode ser trativa, indicada por sinal negativo) é
.
Passo 6
Calcule a tensão de cisalhamento máxima no plano:
Verificação alternativa:
o que confirma o resultado.
Passo 7
(Extra: orientação dos planos — útil para prova)
Calcule por
Calcule
Logo
Interpretação prática: os planos principais estão inclinados aproximadamente
em relação ao eixo
. Os planos de máxima cisalhamento ocorrem a
.