Questão 9-15 (Tensões Principais) “Determine as tensões normal e de cisalhamento máximas no plano para o estado de tensão dado: \sigma_{x}=80 \mathrm{MPa}, \sigma_{y}=0, \tau_{x y}=30 \mathrm{MPa}.”

Passo 1

O enunciado dá o estado de tensão no plano e pede as tensões normais e de cisalhamento máximas no plano. Informações fornecidas:
  • \sigma_{x}=80\\ \text{MPa} (tensão normal na direção x);
  • \sigma_{y}=0\\ \text{MPa} (tensão normal na direção y);
  • \tau_{xy}=30\\ \text{MPa} (tensão de cisalhamento no plano xy).
O que precisa ser determinado:
  • As tensões normais máximas no plano (ou seja, as tensões principais \sigma_1 e \sigma_2);
  • A tensão de cisalhamento máxima no plano ( \tau_{\max});
  • Opcionalmente, as orientações (ângulos) dos planos principais e dos planos de máxima cisalhamento para referência.

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicadas passo a passo).
  1. Média das tensões normais (centro de Mohr): \displaystyle \sigma_{\text{m}}=\frac{\sigma_x+\sigma_y}{2}.
    • Aqui \sigma_{\text{m}} é o valor médio entre as tensões normais nas direções x e y. É o centro do círculo de Mohr.
  2. Raio do círculo de Mohr (quantifica a diferença entre as tensões e o efeito do cisalhamento):
R=\sqrt{\left(\frac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\right)^2+\tau_{xy}^2}.
  • A expressão dentro da raiz combina a diferença das normais (metade da diferença, ao quadrado) com o cisalhamento ao quadrado. Esse R é a magnitude do desvio que leva do valor médio \sigma_{\text{m}} até as tensões principais ou até a tensão de cisalhamento máxima.
  1. Tensões principais (máximas e mínimas de tensão normal no plano):
\sigma_{1,2}=\sigma_{\text{m}}\pm R.
  • \sigma_1 é a maior (usar o sinal +) e \sigma_2 é a menor (usar o sinal −).
  1. Tensão de cisalhamento máxima no plano:
\tau_{\max}=R.
  • A maior tensão de cisalhamento plana é exatamente o raio R. Alternativamente pode-se usar \tau_{\max}=(\sigma_1-\sigma_2)/2, que dá o mesmo resultado.
  1. Ângulo dos planos principais (opcional, mas útil): o ângulo \theta_p medido a partir do eixo x satisfaça
\tan(2\theta_p)=\frac{2\tau_{xy}}{\sigma_x-\sigma_y}.
  • Note que esse ângulo dá a direção onde o cisalhamento é zero e a tensão normal atinge \sigma_1 ou \sigma_2. Os planos de máxima cisalhamento ocorrem a \theta_p\pm 45^\circ.

Passo 3

Calcule a média das tensões:
\sigma_{\text{m}}=\frac{\sigma_x+\sigma_y}{2}=\frac{80+0}{2}=40\\ \text{MPa}.
Explanação: some as duas tensões normais e divida por 2 — isso centraliza a análise (centro do círculo de Mohr).

Passo 4

Calcule o termo \dfrac{\sigma_x-\sigma_y}{2} e suas contribuições:
\frac{\sigma_x-\sigma_y}{2}=\frac{80-0}{2}=40\\ \text{MPa}.
Agora calcule o raio R:
R=\sqrt{40^2+30^2}=\sqrt{1600+900}=\sqrt{2500}=50\\ \text{MPa}.
Explicação: soma-se o quadrado da metade da diferença das normais com o quadrado do cisalhamento e, em seguida, tira-se a raiz quadrada — isso dá a “distância” até as tensões principais e até a máxima cisalhamento no círculo de Mohr.

Passo 5

Calcule as tensões principais usando \sigma_{1,2}=\sigma_{\text{m}}\pm R:
\sigma_1=\sigma_{\text{m}}+R=40+50=90\\ \text{MPa},
\sigma_2=\sigma_{\text{m}}-R=40-50=-10\\ \text{MPa}.
Interpretação: a maior tensão normal no plano é \sigma_1=90\\ \text{MPa} e a menor (pode ser trativa, indicada por sinal negativo) é \sigma_2=-10\\ \text{MPa}.

Passo 6

Calcule a tensão de cisalhamento máxima no plano:
\tau_{\max}=R=50\\ \text{MPa}.
Verificação alternativa:
\tau_{\max}=\frac{\sigma_1-\sigma_2}{2}=\frac{90-(-10)}{2}=\frac{100}{2}=50\\ \text{MPa},
o que confirma o resultado.

Passo 7

(Extra: orientação dos planos — útil para prova)
Calcule 2\theta_p por
\tan(2\theta_p)=\frac{2\tau_{xy}}{\sigma_x-\sigma_y}=\frac{2\cdot 30}{80}= \frac{60}{80}=0{,}75.
Logo
2\theta_p=\arctan(0{,}75)\approx36{,}8699^\circ,
\theta_p\approx18{,}435^\circ.
Interpretação prática: os planos principais estão inclinados aproximadamente \theta_p\approx18{,}43^\circ em relação ao eixo x. Os planos de máxima cisalhamento ocorrem a \theta_p\pm45^\circ.

Resposta

\sigma_1=90\\ \text{MPa}
\sigma_2=-10\\ \text{MPa}
\tau_{\max}=50\\ \text{MPa}

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