QUESTÃO 1 - Escolha e determine o domínio de 3 (faça 6 se for de dupla; 9 se for de trio) das seguintes funções reais: \mathbf{f}(\boldsymbol{\tau})=\frac{\tan (\mathbf{c}+\boldsymbol{\tau})}{\left(\mathbf{c}^{\mathbf{2}}-\boldsymbol{\tau}^{\mathbf{2}}\right)^{\frac{3}{2}}}
e pede determinar o domínio desta função (ou seja, todos os \tau\in\mathbb{R} para os quais f(\tau) está bem definida). Aqui c é uma constante real (assumir c\in\mathbb{R}). As informações relevantes fornecidas são exatamente a expressão do numerador \tan(c+\tau) e do denominador \bigl(c^{2}-\tau^{2}\bigr)^{3/2}.
Passo 2
O que significa “estar bem definida” para uma função real-r? Significa que, para um valor \tau dado, a expressão deve resultar em número real e finito. Portanto devemos eliminar:
pontos em que ocorre divisão por zero;
pontos em que se tenta extrair raiz par de número negativo (aqui a raiz é real somente para argumento não-negativo);
pontos em que as funções trigonométricas do numerador não existem (por exemplo, \tan tem “pontos de infinidade” onde \cos=0).
Vamos analisar cada uma dessas restrições separadamente.
Passo 3
Restrição vinda do denominador \bigl(c^{2}-\tau^{2}\bigr)^{3/2}.
Explicação do conceito usado: para uma potência com expoente \tfrac{3}{2} aplicada a um número real x, escrever x^{3/2} é o mesmo que (\sqrt{x})^{3}. Isso só é real se x\ge 0. Além disso, como x^{3/2} aparece no denominador, não podemos ter x=0 porque causaria divisão por zero. Portanto precisamos de
Observação de caso especial: se c=0 então \lvert c\rvert=0 e não existe \tau com \tau^{2}<0, portanto a condição do denominador já faz o domínio ficar vazio. Anotar isso para depois.
Passo 4
Restrição vinda do numerador \tan(c+\tau).
Explicação do conceito usado: \tan(x) está definida e finita sempre que \cos(x)\neq 0. Os zeros de \cos ocorrem em
x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}.
No nosso caso x=c+\tau. Logo devemos excluir todos os \tau tais que
Portanto os valores \tau=\dfrac{\pi}{2}+k\pi-c não podem pertencer ao domínio.
Passo 5
Combinação das restrições (intersecção).
Resumo: a condição proveniente do denominador exige \tau\in\bigl(-\lvert c\rvert,\lvert c\rvert\bigr). A condição proveniente do numerador exclui a família de pontos \tau=\dfrac{\pi}{2}+k\pi-c para todo k\in\mathbb{Z}.
Logo o domínio é a interseção do intervalo aberto com a remoção desses pontos:
\mathcal{D}=\Bigl\{\tau\in\mathbb{R}\\ \Bigm|\\\ -\lvert c\rvert<\tau<\lvert c\rvert\\ \text{ e }\\ \tau\neq\frac{\pi}{2}+k\pi-c\\ \text{ para todo }k\in\mathbb{Z}\Bigr\}.
Passo 6
Escrever o domínio de forma mais compacta e comentar os casos especiais.
Se c=0 então \bigl(-\lvert c\rvert,\lvert c\rvert\bigr)=\varnothing e portanto \mathcal{D}=\varnothing (função não tem pontos de definição em \mathbb{R}).
Se \lvert c\rvert>0, pode ocorrer que algum(s) dos pontos \tau_k=\tfrac{\pi}{2}+k\pi-c caia(m) dentro do intervalo (-\lvert c\rvert,\lvert c\rvert); nesses casos basta remover explicitamente tais pontos. Em muitos casos práticos nenhum \tau_k ficará no intervalo se \lvert c\rvert for pequeno, mas sempre verifique os valores de k que podem tornar \tau_k dentro do intervalo.
Exemplo numérico rápido (modo de checar): para c=2 tem-se o intervalo ( -2,2 ). Calcule \tau_0=\tfrac{\pi}{2}-2\approx-0{,}429 (está no intervalo), então deve ser excluído; \tau_1=\tfrac{\pi}{2}+\pi-2\approx2{,}712>2 (fora do intervalo), etc.
Passo 7
Dica prática para a prova (resumindo o procedimento):
Primeiro imponha c^{2}-\tau^{2}>0 e escreva o intervalo (-\lvert c\rvert,\lvert c\rvert).
Depois resolva c+\tau=\tfrac{\pi}{2}+k\pi para achar os pontos proibidos pela tangente e remova-os do intervalo.