Calcule a integral dupla, identificando-a antes com o volume de um sólido.
\iint_{R} 3 d A, R=\{(x, y) \mid-2 \leq x \leq 2,-1 \leq y \leq 6\}

Passo 1

O enunciado dá a integral dupla
\iint_{R} 3\,dA,
onde a região R é o retângulo definido por
R=\{(x,y)\mid -2\le x\le 2,\\\ -1\le y\le 6\}.
O que se pede: calcular essa integral dupla e interpretar a integral como volume de um sólido (ou seja, o volume sob a superfície dada pela função integrando sobre a base R).

Passo 2

Resumo das informações relevantes e interpretação geométrica:
  • A função integrando é a constante \,3. Ou seja, a superfície acima do plano xy é z=3 (um plano paralelo ao plano xy).
  • A base no plano xy é o retângulo com extensão em x de -2 até 2 e em y de -1 até 6.
  • A integral dupla de uma função f(x,y) sobre uma região R dá o volume do sólido limitado abaixo por z=0, acima por z=f(x,y) e lateralmente pela projeção R. Então aqui a integral representa o volume do bloco com altura constante 3 sobre a base R.

Passo 3

Calcular a área da base R (retângulo):
  • Largura em x: \,2-(-2)=4.
  • Altura em y: \,6-(-1)=7.
    Portanto a área de R é
\text{area}(R)=4\cdot 7=28.
Para um integrando constante c sobre uma região R vale a regra simples
\iint_{R} c\,dA = c\cdot \text{area}(R).
Aplicando com c=3 e \text{area}(R)=28 obtemos o volume desejado.

Passo 4

Fazer o cálculo por integração iterada (mesma resposta, procedimento passo a passo):
  • Escrevendo a integral como iterada (ordem dy\,dx):
\iint_{R} 3\,dA = \int_{x=-2}^{2}\left(\int_{y=-1}^{6} 3\,dy\right)dx.
  • Calcular a integral interna em y:
\int_{y=-1}^{6} 3\,dy = \bigl[3y\bigr]_{y=-1}^{y=6} = 3\cdot(6-(-1)) = 3\cdot 7 = 21.
  • Agora integrar em x:
\int_{x=-2}^{2} 21\,dx = 21\cdot(2-(-2)) = 21\cdot 4 = 84.
Confere com a multiplicação direta 3\cdot \text{area}(R)=3\cdot 28=84.

Passo 5

Resumo didático rápido (receita para a prova):
  • Se o integrando é constante c e R é uma região com área conhecida, basta multiplicar c pela área de R.
  • Se preferir, monte a integral iterada e integre primeiro em uma variável (para constantes isso dá c vezes o comprimento do intervalo dessa variável) e depois na outra.

Resposta

84

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