Calcule a integral dupla, identificando-a antes com o volume de um sólido.
Passo 1
O enunciado dá a integral dupla
onde a região
é o retângulo definido por
O que se pede: calcular essa integral dupla e interpretar a integral como volume de um sólido (ou seja, o volume sob a superfície dada pela função integrando sobre a base
).
Passo 2
Resumo das informações relevantes e interpretação geométrica:
- A função integrando é a constante
. Ou seja, a superfície acima do plano é (um plano paralelo ao plano ). - A base no plano
é o retângulo com extensão em de até e em de até . - A integral dupla de uma função
sobre uma região dá o volume do sólido limitado abaixo por , acima por e lateralmente pela projeção . Então aqui a integral representa o volume do bloco com altura constante sobre a base .
Passo 3
Calcular a área da base
(retângulo):
- Largura em
: . - Altura em
: .
Portanto a área deé
Para um integrando constante
sobre uma região
vale a regra simples
Aplicando com
e
obtemos o volume desejado.
Passo 4
Fazer o cálculo por integração iterada (mesma resposta, procedimento passo a passo):
- Escrevendo a integral como iterada (ordem
):
- Calcular a integral interna em
:
- Agora integrar em
:
Confere com a multiplicação direta
.
Passo 5
Resumo didático rápido (receita para a prova):
- Se o integrando é constante
e é uma região com área conhecida, basta multiplicar pela área de . - Se preferir, monte a integral iterada e integre primeiro em uma variável (para constantes isso dá
vezes o comprimento do intervalo dessa variável) e depois na outra.