Questão 3 Escolhem-se 9 pontos no interior de um quadrado de lado 1. prove que é possivel escolher 3 deles de tal forma que a área do triângulo que formam é menor ou igual a
.
Passo 1
O enunciado diz que temos 9 pontos no interior de um quadrado de lado
e pede para mostrar que sempre existem 3 desses pontos que formam um triângulo de área
.
O conteúdo principal aqui é o princípio da casa dos pombos (pigeonhole principle) aplicado a uma partição do quadrado, mais a noção básica de que a área máxima de um triângulo inscrito num quadrado é metade da área do quadrado.
O conteúdo principal aqui é o princípio da casa dos pombos (pigeonhole principle) aplicado a uma partição do quadrado, mais a noção básica de que a área máxima de um triângulo inscrito num quadrado é metade da área do quadrado.
Passo 2
Particionamos o quadrado de lado
em 4 quadrados congruentes, cada um de lado
. Cada quadrado menor tem área
Passo 3
Pelos 9 pontos distribuídos nos 4 quadrados menores, o princípio da casa dos pombos garante que existe pelo menos um quadrado que contém pelo menos
destes pontos.
Passo 4
Seja
o quadrado de lado
que contém três pontos quaisquer
. A área de um triângulo inscrito em
nunca excede metade da área de
. Logo
Resposta
Escolhendo esses 3 pontos em
, formamos um triângulo de área
, como queríamos demonstrar.