Questão 3 Escolhem-se 9 pontos no interior de um quadrado de lado 1. prove que é possivel escolher 3 deles de tal forma que a área do triângulo que formam é menor ou igual a \frac{1}{8}.

Passo 1

O enunciado diz que temos 9 pontos no interior de um quadrado de lado 1 e pede para mostrar que sempre existem 3 desses pontos que formam um triângulo de área \le \tfrac18.
O conteúdo principal aqui é o princípio da casa dos pombos (pigeonhole principle) aplicado a uma partição do quadrado, mais a noção básica de que a área máxima de um triângulo inscrito num quadrado é metade da área do quadrado.

Passo 2

Particionamos o quadrado de lado 1 em 4 quadrados congruentes, cada um de lado \tfrac12. Cada quadrado menor tem área
\left(\tfrac12\right)^2 = \tfrac14.

Passo 3

Pelos 9 pontos distribuídos nos 4 quadrados menores, o princípio da casa dos pombos garante que existe pelo menos um quadrado que contém pelo menos
\Bigl\lceil \tfrac{9}{4}\Bigr\rceil = 3
destes pontos.

Passo 4

Seja Q o quadrado de lado \tfrac12 que contém três pontos quaisquer A,B,C. A área de um triângulo inscrito em Q nunca excede metade da área de Q. Logo
\text{área}(ABC)\;\le\;\tfrac12\cdot\text{área}(Q) \;=\;\tfrac12\cdot\tfrac14 \;=\;\tfrac18.áá

Resposta

Escolhendo esses 3 pontos em Q, formamos um triângulo de área \le \tfrac18, como queríamos demonstrar.

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