Questão 4 Uma esfera condutora de raio a é coberta com uma camada dielétrica de permissividade \epsilon_{r} até um raio b. Este objeto agora é colocado em um campo elétrico uniforme \vec{E}_{0}. Determine o campo elétrico dentro da camada dielétrica.
Passo 1
O enunciado descreve uma esfera condutora de raio a envolta por uma camada dielétrica (permissividade \epsilon=\epsilon_r\epsilon_0) que vai de r=a até r=b. Em seguida esse conjunto é colocado num campo uniforme \vec E_0. Precisamos achar \vec E(r,\theta) na região dielétrica a<r<b. Para isso usamos a solução geral da equação de Laplace em coordenadas esféricas com simetria azimutal (dependência \propto\cos\theta), impondo as condições de contorno (continuidade de potencial e de D_r em r=b e E=0 no condutor mais a condição de carga livre total nula em r=a).
Passo 2
Escolhemos as expansões para o potencial em cada região (dependência apenas em \theta via P_1(\cos\theta)=\cos\theta):
No interior condutor (r<a) o campo é nulo e o potencial é constante V_0. Como a carga livre total na superfície r=a é zero, o fluxo de \vec D em r=a deve ser zero:
D_{2,r}(a)=-\epsilon_r\epsilon_0\,\frac{\partial V_2}{\partial r}\Big|_{r=a} =0 \;\Longrightarrow\; A - \frac{2B}{a^3}=0 \;\Longrightarrow\; B=\frac{A\,a^3}{2}.