Questão 4 Uma esfera condutora de raio a é coberta com uma camada dielétrica de permissividade \epsilon_{r} até um raio b. Este objeto agora é colocado em um campo elétrico uniforme \vec{E}_{0}. Determine o campo elétrico dentro da camada dielétrica.

Passo 1

O enunciado descreve uma esfera condutora de raio a envolta por uma camada dielétrica (permissividade \epsilon=\epsilon_r\epsilon_0) que vai de r=a até r=b. Em seguida esse conjunto é colocado num campo uniforme \vec E_0. Precisamos achar \vec E(r,\theta) na região dielétrica a<r<b. Para isso usamos a solução geral da equação de Laplace em coordenadas esféricas com simetria azimutal (dependência \propto\cos\theta), impondo as condições de contorno (continuidade de potencial e de D_r em r=b e E=0 no condutor mais a condição de carga livre total nula em r=a).

Passo 2

Escolhemos as expansões para o potencial em cada região (dependência apenas em \theta via P_1(\cos\theta)=\cos\theta):
V_1(r,\theta)=V_0\quad(r<a),\quad V_2(r,\theta)=(A\,r + B\,r^{-2})\cos\theta\quad(a<r<b),\quad V_3(r,\theta)=\bigl(-E_0\,r + C\,r^{-2}\bigr)\cos\theta\quad(r>b).

Passo 3

No interior condutor ( r<a) o campo é nulo e o potencial é constante V_0. Como a carga livre total na superfície r=a é zero, o fluxo de \vec D em r=a deve ser zero:
D_{2,r}(a)=-\epsilon_r\epsilon_0\,\frac{\partial V_2}{\partial r}\Big|_{r=a} =0 \;\Longrightarrow\; A - \frac{2B}{a^3}=0 \;\Longrightarrow\; B=\frac{A\,a^3}{2}.

Passo 4

Em r=b temos duas condições:
  1. continuidade do potencial:
A\,b + \frac{B}{b^2} \;=\;-E_0\,b + \frac{C}{b^2}.
  1. continuidade da componente radial de \vec D:
-\epsilon_r\epsilon_0\Bigl(A - \frac{2B}{b^3}\Bigr) \;=\; -\epsilon_0\Bigl(-E_0 - \frac{-2C}{b^3}\Bigr) \;\Longrightarrow\; -\epsilon_r\Bigl(A - \tfrac{2B}{b^3}\Bigr) =E_0 + \frac{2C}{b^3}.

Passo 5

Substituindo B=A\,a^3/2 nas equações de r=b e eliminando C, obtemos (após simplificar)
A \;=\; \frac{3\,E_0} {\,2 + \bigl(\tfrac{a}{b}\bigr)^{3} \;+\;\epsilon_r\Bigl(1 - \bigl(\tfrac{a}{b}\bigr)^{3}\Bigr)\,}.
Em seguida B=\tfrac12\,A\,a^3.

Passo 6

O campo elétrico na região dielétrica vem de \vec E=-\nabla V_2. Em coordenadas esféricas:
E_{r}(r,\theta)=-\frac{\partial V_2}{\partial r} =-\Bigl(A - \frac{2B}{r^3}\Bigr)\cos\theta =-A\Bigl(1-\frac{a^3}{r^3}\Bigr)\cos\theta,
E_{\theta}(r,\theta)=-\frac{1}{r}\,\frac{\partial V_2}{\partial\theta} =\Bigl(A + \frac{B}{r^3}\Bigr)\sin\theta =A\Bigl(1+\frac{a^3}{2\,r^3}\Bigr)\sin\theta.

Passo 7

Reescrevendo em forma vetorial usando \hat r e \hat\theta, achamos
\boxed{ \vec E(r,\theta) = A\,\biggl[ -\Bigl(1-\frac{a^3}{r^3}\Bigr)\cos\theta\,\hat r \;+\;\Bigl(1+\frac{a^3}{2\,r^3}\Bigr)\sin\theta\,\hat\theta \biggr], }
com
\displaystyle A = \frac{3\,E_0} {\,2 + \bigl(\tfrac{a}{b}\bigr)^{3} \;+\;\epsilon_r\Bigl(1 - \bigl(\tfrac{a}{b}\bigr)^{3}\Bigr)\,}.

Resposta

\vec E(r,\theta) = \frac{3E_0} {2+\bigl(\tfrac{a}{b}\bigr)^3 +\epsilon_r\bigl(1-(\tfrac{a}{b})^3\bigr)} \Bigl[ -\Bigl(1-\tfrac{a^3}{r^3}\Bigr)\cos\theta\,\hat r +\Bigl(1+\tfrac{a^3}{2r^3}\Bigr)\sin\theta\,\hat\theta \Bigr], \quad a<r<b.

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