(3 pts) Dada uma função z=f(x, y) definida sobre uma região B do plano x y, define-se seu valor médio como o número
f_{m}=\frac{1}{A(B)} \cdot \iint_{B} f(x, y) d x d y
onde A(B) é a área da região B. Sabendo disso, calcule o valor médio da função f(x, y)=e^{2} y no retângulo R=[0,2] \times[1,4].

Passo 1

O enunciado dá a função f(x,y)=e^{2}y definida sobre o retângulo R=[0,2]\times[1,4] e pede o valor médio f_{m} definido por
f_{m}=\frac{1}{A(B)}\iint_{B} f(x,y)\,dx\,dy.
Dados relevantes:
f(x,y)=e^{2}y,
a região B é o retângulo R=[0,2]\times[1,4],
e precisamos calcular a área A(R) e a integral dupla \iint_{R} f(x,y)\,dx\,dy para obter f_{m}.

Passo 2

Calcular a área do retângulo R. Em um retângulo a área é o produto dos comprimentos dos lados:
A(R)=(2-0)\cdot(4-1)=2\cdot 3=6.

Passo 3

Escrever a expressão do valor médio usando a área encontrada:
f_{m}=\frac{1}{A(R)}\iint_{R} f(x,y)\,dx\,dy=\frac{1}{6}\iint_{R} e^{2}y\,dx\,dy.
Aqui podemos notar que e^{2} é uma constante (não depende de x nem de y), então pode ser fatorada para fora da integral.

Passo 4

Usar a propriedade de Fubini para calcular a integral dupla como uma iterada. Fatorando e^{2}:
\iint_{R} e^{2}y\,dx\,dy = e^{2}\iint_{R} y\,dx\,dy.
Como R=[0,2]\times[1,4], escrevemos a integral iterada:
\iint_{R} y\,dx\,dy = \int_{x=0}^{2}\left(\int_{y=1}^{4} y\,dy\right)dx.
Calcule a integral interna em y:
\int_{y=1}^{4} y\,dy = \left.\tfrac{1}{2}y^{2}\right|_{1}^{4} = \tfrac{1}{2}(16-1)=\tfrac{15}{2}.
Agora a integral em x é simples:
\int_{x=0}^{2} dx = 2.
Multiplicando:
\iint_{R} y\,dx\,dy = 2\cdot \tfrac{15}{2}=15.
Portanto
\iint_{R} e^{2}y\,dx\,dy = e^{2}\cdot 15.

Passo 5

Substituir na fórmula do valor médio:
f_{m}=\frac{1}{6}\cdot \bigl(e^{2}\cdot 15\bigr).

Resposta

\dfrac{5}{2}e^{2}

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