(3 pts) Dada uma função
definida sobre uma região
do plano
, define-se seu valor médio como o número
onde
é a área da região
. Sabendo disso, calcule o valor médio da função
no retângulo
.
Passo 1
O enunciado dá a função
definida sobre o retângulo
e pede o valor médio
definido por
Dados relevantes:
a região
é o retângulo
,
e precisamos calcular a área e a integral dupla
para obter
.
e precisamos calcular a área
Passo 2
Calcular a área do retângulo
. Em um retângulo a área é o produto dos comprimentos dos lados:
Passo 3
Escrever a expressão do valor médio usando a área encontrada:
Aqui podemos notar que
é uma constante (não depende de
nem de
), então pode ser fatorada para fora da integral.
Passo 4
Usar a propriedade de Fubini para calcular a integral dupla como uma iterada. Fatorando
:
Como
, escrevemos a integral iterada:
Calcule a integral interna em
:
Agora a integral em
é simples:
Multiplicando:
Portanto
Passo 5
Substituir na fórmula do valor médio: